例題 255 3 次関数のグラフと接線の囲む面積
曲線 y=x2-5x2+2x+6 と, その曲線上の点 (3, -6) における接線で囲まれた
図形の面積Sを求めよ。
◆例題 204,242
BAL
まず, p.332 例題 204 と同様に,接線の方程式と,接点以外の共有点の座標を求める。 面積
を求める際は、3次関数のグラフであっても, 放物線の場合と同じく 接点
イントになる。
重解がポ
曲線y=f(x)と直線y=g(x) が x=α で接する
解答y'=3x2-10x+2 であるから,接線の方程式は
y-(-6)=(3・32-10・3+2)(x-3) すなわち y=-x-3
この接線と曲線の共有点のx座標は,
x-5x²+2x+6=-x-3 すなわち x5x²+3x+9= 0
の解である。
左辺が (x-3)2 を因数にもつことに注意して, 因数分解す
ると (x-3)2(x+1)=0
よって
したがって,図から 求める面積Sは
S=S{(x²-5x²+2x+6)-(-x-3)}dx
-1
⇔ f(x)-g(x) が因数 (x-α) をもつ
=S_{(x-3)+4(x-3)*dx
-1
=[(x-3)*] +4[(x-3)*] =
-1
=f'(x-3)2(x+1)dx=(x-3)^{(x-3)+4}dx
-1
T
64
--6₁+ 256 $1
64
3
YA
6
x=3, -1(x-3)2(x+c) とおき,
定数項を比較する。
9c=9 から c=1
◄(x-a)²(x-B)
10
-6
f(x-a)"dx=
=(x-α)^{(x-2)-(β-α)}
(x-c)n +1
n+1
x
+C
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7章
41
面積
