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体
=)
考
8 線分の回転
ryz
回転してできる曲面と2つの平面 z = 1およびz=-1で囲まれた立体をAとする
空間内の2点P(0, -1, 1) Q(1, 0, -1) を通る直線を1とし, 直線を2軸の周りに
(名古屋市大薬 / (3) を削除)
((1) 立体 A を平面z=0で切った断面Bの面積Sを求めよ.
(2) 立体Aの体積を求めよ.
回す前に切る
回転体の断面を考えるときは,回転前の図形 (例題では
1) と断面の交わり (右図の点R) を求め, それを断面内で回転させる. 回転
体の断面は断面の回転体と同じ、つまり回してから切るのと切ってからす
境界は図の点Rを軸を回転軸として回転させたものだから, 断面Bは中
のは同じなので簡単な方 (回す前に切る) を採用する。 例題 (1) では,Bの
心がO, 半径ORの円 (周と内部) になる.
Zi
P
(B
R
z=0
0
体積は微小体積の和
積をS(t) とすると,Aの体積は∫_S (t) dt となる. 微小体積
S(t) ⊿t の和が全体の体積, と理解しよう.
例題で,立体A を平面 z=t で切った断面の
厚さ、
z=t+at
z=t
面積S(t)
解答
線分PQ上の点を X とすると,0≦s≦1 として
OX=sOP+(1-s) OQ
1
-s)
=s
(
1
P
0
0
2s-1,
と書ける.このXが平面z=t (-1≦t≦1) と線分 PQ
HP
X
-1
t+1
の交点になるとき, 2s-1=t
S=
2
cote, x(127-1+1)
り
z軸と平面z=tの交点をH(0, 0, t) とする. 立体 A を平面 z = tで切った
断面は,中心がH, 半径がHX の円 (周と内部) だから,その面積S (t)は
*(1+(1)}ーズ
S(t)=πHX2=π
(1)S=S(0)=
π
2
電源とさく
2
x+y2
1+t2
2
(1)
例題の演習題の線分 PoPが回
転してできる曲面は回転一葉双
曲面と呼ばれている (円錐台では
), 演習題の解答のあとの注
を参照
-T)=(1)
(
-16(1)2-7
1+t2
dt
関数
2
12
(2) V=S(t) dt=xf 1+1² dt=x-21+ d
-1 2
=π
YZ 空間に
t=πt+
4
==π
08 演習題(解答は p.154)
2
1)を考え,β-α = 1 を
例題と同じ方針、
