(3)のコサがわかりません。

数学

高校生

解決済み

28日前

(3)のコサがわかりません。
3枚目の写真で蛍光ペンを引いているところがコサに当たるのですが、なぜBD:DCを出すのか、そして、なぜそれをかけて求めるのかがわかりません。
どなたかすみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

目標解答時間 45 難易度★★ 右の図のように, AB=9, BC =10, CA=6 の △ABC があり, ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Aを通り点Dで辺 BCに接する円と, 2辺AB, AC との交点をそれぞれE,Fとする。ただし,E,FはAと異なる点とする。また, 線分AD と EF の交点をGとし, 直線 BG と辺 AC の交点をHとする。 g E B 3 BE が成り立つから, 10 (1) BD= アであり, BD BE = である。オカ (2) EF:BC= I : AB となるから,EF= である。キ AH クまた, である。 HC ケエの解答群 ⑩AC ①AD ②AE ③ AF ④ CD ⑤ DF ⑥ EG (3) △ABCの面積をSとおくとコ (△AED の面積) = S, (△DHCの面積) = セであるから (△AEDの面積): (△DHCの面積)ソタ : チッ S である。ただし, ソタ : チッは最も簡単な整数比で答えよ。 (4)△ADE∽△A テより, AD=トナである。テの解答群 ⑩ CD ① DF ②EG (配点 20

45 三角形の相似の利用 (1) 線分 AD は ∠Aの二等分線であるから BD:DC=AB:AC=9:6=3:2 したがって BD=102=16 5 方べきの定理により BD2 BE・BA で, BA = 9 であるから B) BD² = 9BE AN 角の二等分線と比 △ABCにおいて,∠Aの線と辺BCの交点をDとす。 BD:DC=AB:AC (3) ] Al でが成り立つので B' D ま BD2 62 BE= 2 9 9 B A (2) 接線と弦のつくる角の定理により C Point べきの定理下の図で ∠EDB= ∠DAE ・・・・・・ ① 線分AD は ∠Aの二等分線であるから <DAE = ∠DAF ...... ② また、同じ弧に対する円周角より ∠DAF = ∠DEF ...... ③ ① ② ③ より ∠EDB= ∠DEF 錯角が等しいので EF // BC したがって B C D IAS PA・PB=PT2 (PTは接線, Tは接点) P A e て T (4) CCA 接線と弦のつくる角の定理下の図で ∠ACB= ∠BAT △AEF∽△ABC D よって EF:BC = AE: AB (2) (AT) 2 ここで,AE=AB-BE=9-4=5より EF:10=5:9 オカ 10.5 50 EF= 9 9 また, ADCと直線 BH において, メネラウスの定理により E AG DB CH =1 414 GD BC HA ここで, EF // BC より AG:GD = AE:EB = 5:4 したがって 53 CH 45 HA =1 よって AH HC 734 H E F B C D 49 B T A (D △AEF と △ABCにおいて ∠EAF = ∠BAC (共通また、平行線の同位角より ∠AEF=∠ABC 2組の角がそれぞれ等しいの △AEF∽△ABC E PT H G [B] D

ると (3) BD:DC=3:2より (△ABDの面積)=1S AB:AE=9:5 より (△AEDの面積) = F F 5 (△ (△ABDの面積) F 高さが等しい2つの三角形の面積の比は底辺の長さの比に等しい。であるから ( △AEDの面積) 53 95 3 また,BD:DC=3:2 より (△ADCの面積)=//S F AC:CH=(3+4):47:4 より (△DHCの面積)=(ADCの面積) であるから F (△DHCの面積)=4. よって」 2 (△AEDの面積): (△DHCの面積)=1/3S:25S=33234 8 タチツ J2 (4) 線分AD は ∠Aの二等分線であるから Point EAD= ∠DAC ・④ 接線と弦のつくる角の定理により ∠AED= ∠ADC ...... ・⑤ テ A 12-MH 40 ④ ⑤より △ADE∽△ACD (0) したがって, AE:AD=AD: AC により AD2=AE AC = 5・6=30 トナ AD> 0 より AD=30 HM O HO

回答

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

28日前

底辺の比と面積比の関係からです。
写真例のように、BD：DC＝3：5ならば、
△ABDの面積は、全体の3/8倍になります。

今回の問題も、
ABDの面積は、BD：DC＝3：2なら、△ABCの3/5倍になります。

ゆる 28日前

教えてくださりありがとうございました🙇‍♀️
底辺の比と面積の比は同じになるをしっかり覚えときます！！
ひとつ質問なのですが、なぜ、3:2を出すのかはきらうるさんのおかげで理解できたのですが、下の写真の黒く囲んだところで、この二つの三角形の面積をかける理由がわかりません。
お時間がある時に教えていただけたら幸いです🙇‍♀️
すみませんがよろしくお願いします🙇‍♀️

きらうる 28日前

上記で使った画像の続きの画像です。(拾った画像なので数字がゆるさんのと違うのはご容赦ください)。
今、△ABDが3/8Sまで求められました。
そして、AE：ED＝4：3ならば、△ABDを7等分したうとの4つ分が△ABEになりまうので、
△ABE＝△ABD×4/7
となります。
△ABDは3/8Sなのですから、
△ABE＝3/8S×4/7
となるのです。

ゆるさんの問題なら、
△AEDは、△ABEを9等分したうちの5つ分なので、
△AED＝△ABE×5/9
△ABE＝3/5S　だから
△AED＝3/5S×5/9
という式になっています。