3
基本 52 2次方程式の解の存在範囲
①①①①①
2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定数の
値の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。
p.87 基本事項
89
指針 2次方程式x²-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1>0
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 → α-3 と β-3 が異符号
以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα, βとし, 判別解 2次関数
解答 別式をDとする。
D
=(−p)² −(p+2)= p²−p−2=(p+1)(p−2)
4
解と係数の関係から α+β=2p, aβ=p+2
(1) α>1,β>1であるための条件は
D≧ かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (β-1) > 0
(p+1)(p-2)≥0
f(x)=x-2px+p+2
のグラフを利用する。
(1) 0(+1)(p-2)0.
軸について x=p > 1,
f(1)=3-p>0
から2≦p<3
YA
x=py=f(x)
D 0 から
よって
p≦-1,2≦p
①
(α-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から
2p-2>0
よって
p>1
......
②
3-p
+α
P
0 1
B
x
(α-1) (−1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から
p+2-2p+1> 0
よって p<3
......
求める』の値の範囲は, 1, 2,
③の共通範囲をとって
2≦p<3
②
①
1 2
3
Þ
2
2章
解と係数の関係、解の存在範囲
(2) f(3)=11-5p<0から
11
p>1
