最大最小問題の解き方は、グラフを描く以外に (ア)みたいに( )^2の形を作るというのはよくあるパターンですか？ その解き方のメリットとデメリットはなんですか？

1/12 #16 2:30 11 2 変数関数等式の条件がない場合,ある場合 (ア) (1) エリの関数P='+3 +4 - 6y+2の最小値を求めよ. また,そのときのェリの値 を示せ. 2)0x3.0Sys3のとき (1) の関数Pの最大値および最小値を求めよ. また,それぞれ の場合のェyの値を示せ. (3)エリの関数Q6ry +10g²-2x+2y+2の最小値を求めよ. また,そのときのエリ の値を示せ. ( 豊橋技科大) である. x+y=1, r200のとき、2y2の最小値は [ 最大値は (関西大理工系,改題) の2次の2変数関数 変数が2個以上あっても、等式の条件などなくてそれぞれ独立に(無関 に) 動けるとき,平方完成によって2次式で表された関数の最大・最小値を求めることができる.具 体的には、の2次式があるとき、まずその2次式をェの式と考えて (yは定数と見なす) 整理し, 平方完成する。 すると定数項はェを含まない」の式(2次式)で、それをリについて平方完成する。 等式の条件 1次の等式の条件が1個与えられたら, それを使ってどれか1文字を消去するのが原 則的な手法である。 (イ)の場合、等式の条件からェをで表すことができる. この際 (イ)☆消去される文字ェについている条件(20) に反映させるこのc ことを忘れないように,結局, (イ)は見かけは2変数関数であるが、実質的には1変数関数にすぎない。 解答() () ()のお =02121 23-00 p-table まずェについて整理 ⇒因に?ちがうする (ア) (1) P=x2 +4 +3y2-6y+2 =(x+2)2+3g2-6y-2=(x+2)243(y-193-5 これはx=-2,g=1のとき最小値5をとる Pa (2) ① は, x+2」が大きいほど, y-1が大きいほど大きい。よって 3 y=3のとき最大となり, 最大値は 3のとき,①はx=3, 52+3・22-5=32である. また, x=0 y=1のとき最小となり,最小値は 2-5=-1である。 (3) Q=2-2(3y+1)x+10y2+2y+2 =(x-(3y+1))-(3y+1)²+10y²+2y+2 0 ={z-(3y+1))2+y2-4y+1={(3y+1)+(y-2)2-3 y-2=0 かつェ= 3y +1, すなわち,y=2,x=7のときに最小値-3をとる (イ)x+y=1により,r=1-yx20,420により,Osysl x-2y2=1-g-2y=-2(y+1+1/ これは①のとき,y=1で最小値1-1-2=-2,y=0で最大値1をとる. 11 演習題(解答は p.59) まずェについて整理 ①ェを消去した方が、少しラク. 1-g-2y2に代入. w 実数x, y, zの間にx+2y+3z=7という関係があるとき,+y'+2の最小値 と、そのときのエリ, zの値を求めよ. (早大 人間科学) (イ) (1) +2y=10のとき,'+y2の最小値とそのときのx、yの値を求めよ。 (2) g (x)=15-50 とする. +2y=100,120 のとき, 2g(x)+g(x)の最大値、最小値とそのときのz,yの値を求めよ. 44 条件 しっかり (尾道大) (ア)(イ)とも1文字消去 をする。

逆像法と順像法について。もし例題(ア)でx^2+4yではなく、x+4yという問題だったら、 (イ)と同じように xの値に±付きのルートが出てきて面倒なので、逆像法で解くということですか？

12 2変数関数/等式の条件が2次式の場合 (ア) 実数x,yがx'+y2 =1をみたすとき,r'+4yは(x,y)=(, をとり、(x,y)=(¯□¯)のとき最小値 |をとる. ■ のとき最大値 (東海大理工) (イ) 実数x,yがx-2xy+2y2=8を満たすとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。 (名古屋学院大, 一部省略) 「等式の条件が2次の場合 (ア)の場合,1-y2としてェを消去すれば前問と同様に解ける.こ 実をもつまらな こでの範囲に制限がないから, yに反映させる条件はない, とすると大間違いである。 例えばy=2 とすると, z=-3となるがこれを満たす実数æは存在しない! つまり,ェが実数であるための条件220 を」に反映させる必要がある. (z が実数で存在する条件) 実数が一方, (イ)の場合、無理に1文字を消去して』をyで表せば,r=y±√8-y2というやっかいなもの が登場してしまう。こんなときは,次の手法が威力を発揮する. (「大学への数学」では“逆手流” と呼 んでいる) すま の地で さかて f(x, y) =0のとき,g(x,y)の取り得る値の範囲 I を求めるとする. ある値kについて, kがIの範囲に入る⇔ 「f(x, y) =0かつg (x, y) = k を満たす実数x, y が存在する」 本間の場合, f (x,y)=x²-2xy+2y2-8, g(x,y)=x+yであり,「」 から得られる kの条件 (範囲) がIになるわけである.なお, 逆手流については、詳しくは p.66. 解答 存在条件に (ア)存在条件(イ)有 Dしかない 次へ 実 (ア) '+y2=1により, r=1-y2 x 2 0 であるから, 1-y2≧0 .. -1≤y≤1 このとき,'+4y=(1-y2)+4y=-(y-2)2+5 よって, y=1 (このときx=0) のとき最大値 4 y=-1 (このときょ=0) のとき最小値 4 (イ) x+yがんという実数値を取り得る. ⇔rty=kかつ2ry+2y2=8 を満たす実数x, y が存在する。 ⇔-2ェ (k-x)+2(k-x)=8① (y=k-π･････ ②) を満たす実数x が存在する. ここで, ①を整理すると, 52-6kr+2k2-8=0 ェの実数条件. な お,r'+y2=1は 右図の単位円を 表すことからも -1≦y≦1 が分かる. 1 〒1 並ん [② ②を使ってyを消去. なお,エが 実数なら②からが実数である から, が言える. これを満たす実数x が存在するための条件は,上式を2次方程式と見たと 少なくとも1つ実数解を持たな きの判別式をDとすると, D≧0であるから, D/4=(3k)2-5(2k2-80 .. k²≤40 ければならない. その条件は D.20. ..-2/10 ≦k≦2/10 よって、xtyの最大値は2/10 最小値は2/10 である。 D 12 演習題(解答はp.59) (ア),yが2+2y2=1 をみたすとき, 2x+3y2の最大値は [ である. ]で,最小値は (明海大 歯) (イ) (1) 実数x、yがェーry+y"-y-1=0 をみたすとき, yの最大値は 最小値は である. で. (愛知工大) (2) 実数ェリがェー2x+y=1を満たすとき,rtyの最大値は [ 最小値は (ア) 実数条件を忘れな いように. ( 広島工大) (イ) 逆手流を使う. である. 解答のかき方応 45 逆手流の逆像法 みる の 大阪

数1A 赤線の部分は記述の際に必要になりますか？ もし書く必要があるならば、書かなくてはいけない理由が知りたいです

151 3 3章 10 2次関数の最大・最小と決定 という、 ると、 意。 重要 90 2変数関数の最大・最小 (2) (1x, y の関数P=x2+3y2+4x-6y+2の最小値を求めよ。 00000 (2) x, y の関数 Q=x²-2xy+2y2-2y+4x+6の最小値を求めよ。≧I-((s) ,(1),(2), 最小値をとるときのx,yの値も示せ。 針 [(2) 類 摂南大] 基本 79 (1) 特に条件が示されていないから,x,yは互いに関係なく値をとる変数である。 このようなときは,次のように考えるとよい。 ①xyのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて,Pをまずx の2次式とみる。そして, P を 基本形 α(x-b)+αに変形。 ②残ったg(yの2次式) も、基本形 b(y-r) '+s に変形。 えておく ③3 X= を消去す くるので、 事が面倒。 P=ax2+ by '+s (a>0,b>0, sは定数) の形。 →Pは X=Y = 0 のとき最小値s をとる。 (2)xyの項があるが, 方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-r)'+s の形に変 形。 CHART 条件式のない2変数関数一方の文字を定数とみて処理 (1) P=x2+4x+3y2-6y+2 解答手=(x+2)-22+3y-6y+2 =(x+2)'+3(y-1)^-3.12-2 =(x+2)+3(y-1)-5 2+3のゲー まず, xについて基本形に。 次に, yについて基本形に。 xの変 x, yは実数であるから 式を解く。 →頂点で (x+2)≥0, (y-1)2≥0 1,1)の ●もある。 たときの +8 (05 よって, Pは x+2=0, y-1=0のとき最小となる。 ゆえに x=-2,y=1のとき最小値-5 (2)Q=x²-2xy+2y2-2y+4x+6 =x2-2(y-2)x+2y2-2y+6 ={x-(y-2)}'-(y-2)^+2y-2y+6 =(x-y+2)+y2+2y+2 =(x-y+2)2+(y+1)^-12+2 =(x-y+2)+(y+1)'+1 <P=aX2+6Y2+s の形。 (実数) 20 x+2=0, y-1=0を解く と x=-2, y=1 x²+x+の形に。 まず, xについて基本形に。 -(-) 次について基本形に。 <Q=ax2+by2+s の形。 (1-x) x, yは実数であるから かつ 7(1-4 (x-y+2)20,(y+1)^≧0 (実数) 20 よって,Q は x-y+2=0 y+1=0のとき最小とな る。x-y+2=0, y+1=0を解くとx=-3,y=-1 x== = y=-1のとき最小値1 最小値をとる x,yの値は, 連立方程式 の解。 かつ 練習 (1) x,yの関数P=2x2+y-4x+10y-2の最小値を求めよ。 =x6xy+10y²-2x+2y+2の最小値を求めよ。 ③902) 開 ar re

（2）について どこが間違っていますか？ 正答はx＝－3、y＝－1のとき最小値1となります

重要 例題 87 2変数関数の最大・最小 (2) (1)x,yの関数P=x2+3y'+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2)x,yの関数 Q=x²-2xy+2y-2y+4x+6の最小値を求めよ。 なお,(1),(2)では,最小値をとるときの x,yの値も示せ。 0000 [(1) 類 豊橋技科大, (2) 類 摂南大] ■基本 76 BALN

二次変数関数についての質問です 答えるとき、x=〜,y=〜で最大値（最小値）〜って答えに書いたのですが、青チャートの答えには、（x,y）で最大値（最小値）〜と答えが書いてあるのですがどのようなときはこっちとかあるんですか？ 基本的には変わらないと捉えていいのでしょうか？ 教... 続きを読む

150 基本 89 2変数関数 (1) 2x+y=3のとき, 2x+y2 の最小値・ (2) x0,y≧0, 2x+y=8のとき, xy (2)の2x+y=8のような問題の前提となる式を。 =h* 2x² + y² 条件式がある問題では、文字を消去する方針で進めるとよい。 解答 指針 (1) 2x+y=3, の最大値と最小値を求め y=-2x+3 (1) 条件式2x+y=3から (2) 条件式からy=-2x+8として」 を消去する。 ただし、次の点 →基本形α(xp)+αに直す方針で解決! 2x + (-2x+3) となり,yが消えて1変数xの2次式になる。" 消去する文字の条件 (y≧0) , 残る文字(x) CHART 条件式文字を減らす方針で変域に注意 (1) 2x+y=3 から y=-2x+3 2x2+y2に代入して,yを消去すると 2x2+y2=2x2+(-2x+3) 2 =6(x-1)'+3 よって, x=1で最小値3をとる。 このとき, ①から したがって (2) 2x+y=8 から y≧0であるから との共通範囲は また よって =6x²-12x+9 6(x2-2x)+9 =6(x2-2x+12)-6・12+9 y=-2・1+3=1 x=1, y=1のとき最小値3 y=-2x+8 -2x+8≧0 0≤x≤4 ゆえに ② の条件に x≤4 xy=x(-2x+8)=-2x2+8x =-2(x2-4x) =-2(x2-4x+22)+2・22 =-2(x-2)^+8 ②の範囲において,xyはx=2で最大値8をとり, x=0, 4で最小値0 をとる。 ① から x=2のときy=4,x=0のとき y=8, x=4のときy=0 (x,y)=(2,4) のとき最大値 8 (x,y)=(0,8), (40) のとき最小値 0 90 2変数関数の最大 要 例 x,yの関数P=x²+3y^+4x- x y の関数Q=x²-2xy+2y². (1,2), 最小値をとる 針 (1) 特に条件が示されていな このようなときは,次のよ ① x,yのうちの一方の の2次式とみる。 そして [2] 残ったq(yの2次式 3 P=ax2+by+s →Pは X=Y=0の (2) xyの項があるが、 た 形。 CHART 4t=66x 4(x, y)= (1) P=x2+4x+3y²- =(x+2)²-22+ =(x+2)^+3( =(x+2)+3( x, y は実数である (x+2 よって, Pはx- ゆえに xy=tとおい t=-2x-1 のグラフ th 86 最小 0 条件式の x= (2) Q=x2-2xy =x2-2(y ={x-(y =(x-y- =(x-y ③ 89 (2) x0,y0, x+2y=1のとき, x2+y2 の最大値と最小値を求めよ。 習 (1) 3x-y=2のとき, 2x2-2 の最大値を求めよ。 =(x-y x, y は実数 よって, る。 x-y ゆえに 習 (1) x, 70 (2) X, なお、

なぜ下線部のように0について解くのですか？

必 18. <2変数関数の最小値〉 (1) 実数x, y について, 4x2+12y²-12xy+4x-18y+7 の最小値, およびそのときの x, yの値を求めよ。 (2) αを負の実数とする。 4x2 +12y²-12xy+4x-18y+7=a を満たすx, yが隣り合 う整数のとき,αの最大値,およびそのときのx,yの値を求めよ。 [12 秋田大医]

数Ⅰの二次不等式です。なぜ判別式Dが出てくるのかがわかりません。また、D≧0となるのもわかりません。 教えていただきたいです！

解答 122 2変数関数の最大 最小 (4) 重要 例題 0 0 0 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を [類 南山大] ・基本 101 求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2 から文 字を減らしても、 2x+yはx,yについての1次式であるからうま 指針 ..... 2x+y=t とおくと y=t-2x これを x2+y2=2に代入すると0 x2+(t-2x)=2 くいかない。 そこで、2x+y=tとおき,tのとりうる値の範囲を調べることで, 最大値と最小値を求める。 2x+y=t をy=t-2xと変形し, x2+y2=2に代入してyを消 去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。 実数解をもつ⇔D≧0の利用。 CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用 整理すると 5x²-4tx+t2-2=0 ONO このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための 条件は、②の判別式をDとすると D≧0 ここで D=(−2t)²-5(t²-2)= − (t²−10) D≧0から これを解いて ①から よって 4 もつ。t=±√10 のとき (10 5 t=±√10 のとき, D=0 で, ② は重解x=- KETI y=+ x= 2√10 5 x== 9 2√10 (複号同順) y= t²-10 ≤0 -√10 ≤t≤√10 <3 -$80x2A 1-2x x=± 5 $ ① /10 5 y=- S-(S-x)=5+: ...... 2√10 5 √10 5 (s+y)=s+ツの不等式)。 (2) 1 で -4t_2t8 2.5 5 のとき最大値 10 V 見方をかっ 3+1 & のとき最小値-10 参考実数a,b, x, y に ついて,次の不等式が成り 立つ(コーシー・シュワル (ax+by)² ≤(a²+b²) (x²+x²) [等号成立はay=bx] この不等式にa=2,6=1 を代入することで解くこと もできる。 をt=±√10 のとき, ② は 5x2+4V10x+8=0 (√5x+2√2)=0 よって える ゆえに x=± 2√2 √5 203 ①から =± としてもよい。 2√10 15 /10 y=± 5 (複号同順)

数１青チャートの例題90です 写真で波線引いている箇所がわかりません

おし 71 解答 重要 例題 90 2変数関数の最大･最小 (2) (1) x,yの関数P=x2+3y²+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2) x,yの関数Q=x2-2xy+2y2-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 (1,2), 最小値をとるときのx,yの値も示せ。 指針 (1) 特に条件が示されていないから,x,yは互いに関係なく値をとる変数である。 このようなときは,次のように考えるとよい。 ①x,yのうちの一方の文字 (ここでは」とする) を定数と考えて, Pをまずx の2次式とみる。 そして, P を基本形α(xp)+αに変形。 ②2 残ったg(yの2次式)も、基本形 b(y-r)+s に変形。 ③3 P=aX+b\'+s (a>0,6> 0, s は定数) の形。 →Pは X=Y=0のとき最小値s をとる。 (2) xyの項があるが, 方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-r)'+sの形に変 形。 CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 (1) P=x2+4x+3y²-6y+2 =(x+2)^-22+3y²-6y+2 =(x+2)^2+3(y-1)^-3・12-2 =(x+2)+3(y-1)2-5 x, y は実数であるから (x+2)2≧0, (y-1)≧0 ? よって,Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値-5 (2) Q=x2-2xy+2y²-2y+4x+6 =x2-2(y-2)x+2y²-2y+6 ={x-(y-2)}^-(y-2)^+2y²-2y+6 =(x-y+2)^+y²+2y+2 =(x-y+2)+(y+1)^-12+2 =(x-y+2)^2+(y+1)+1 x, y は実数であるから (x-y+2)^2≧0, (y+1)^2≧0 よって, Q は x-y+2=0, y+1=0のとき最小とな る。 x-y+2=0, y+1=0 を解くと x=-3, y=-1 ゆえに x=-3, y=-1のとき最小値1 [(2) 類 摂南大] 基本79 まず, xについて基本形に。 次に, yについて基本形に。 <P=aX2+by+sの形。 (実数) ≧0 <x+2=0, y-1=0を解く とx=-2, y=1 x2+x+■の形に。 まず, xについて基本形に。 次に, yについて基本形に。 Q=ax2+bY2+s の形。 (実数) ≧0 最小値をとる x,yの値は, 連立方程式の解。 練習 (1) x,yの関数 P=2x2+y²-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 90 (2)xの関数Q=x²-6xy+10y²-2x+2y+2の最小値を求めよ。 なお (1), (2) , 最小値をとるときのx,yの値も示せ。 p.160 EX 63

(1)(2)で、なぜx、yは実数なのでしょうか？

140 重要 例題 87 2変数関数の最大・最小 (2) (1) x,yの関数P=x2+3y2+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2) x,yの関数Q=x²-2xy+2y²-2y+4x+6の最小値を求めよ。 (1),(2) , 最小値をとるときのx,yの値も示せ。 指針 (1) 特に条件が示されていないから, x,yは互いに関係なく値をとる変数である。 このようなときは,次のように考えるとよい。 解答 (1) P=x2+4x+3y²-6y+2 [(1) 類豊橋技科大,(2)類摂南大] ① x,yのうちの一方の文字(ここではyとする) を定数と考えて,Pをまず 2次式とみる。そして,Pを基本形α(x-b'+αに変形。 ② 残ったgyの2次式) も, 基本形b(y-r's に変形。 ③ P=ax2+by'+s (a>0,6> 0, s は定数) の形。 =(x+2)²-22+3y²-6y+2 = (x+2)² +3(y-1)²-3-1²-2 →PはX=Y=0のとき最小値をとる。 (2) xy の項があるが,方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-y)*+sの形に変 CHART 条件式のない2変数関数一方の文字を定数とみて処理 00000 =(x+2)^+3(y-12-5 x, y は実数であるから (x+2)² ≥0, (y-1)² ≥0 よって, Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。 x=-2, y=1のとき最小値-5 ゆえに (2) Q=x2-2xy+2y²-2y+4x+6 =x2-2(y-2)x+2y²-2y+6 =(x-(y-2)]²-(y-2)²+2y²-2y+6 =(x-y+2)^+y^+2y+2 =(x-y+2)^2+(y+1)-12+2 =(x-y+2)+(y+1)+1 x, y は実数であるから (x-y+2)^2≧0, (y+1)^≧0 よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 x-y+2=0, y+1 = 0 を解くと ゆえに 基本76 x=-3, y=-1のとき最小値1 まず, xについて基本形に 次に、について基本形に P=ax2+bY2+s の形 (実数) 20 <x+2=0, y-1=0 を解く と x=-2, y=1 ●x+■の形に。 まず、xについて基本形に 次に,yについて基本形に ◄Q=aX²+by²+s (実数) 20 17 yの x=-3, y=最小値をとるx, ) の解

判別式を用いる2変数関数の最大最小の問題はメジャーですか？tで置き換えて判別式で求める方法があまりしっくりきません。

重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4) 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。 [類 南山大] 基本98 指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ⇔D≧0の利用。 CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用 解答 2x+y=tとおくと y=t-2x... ① これを x2+y2=2に代入すると 整理すると 5x²-4tx+t2-2=0...... ② このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は, ②の判別式をDとすると D≧0 ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10) 4 x2+(t-2x)=2 D≧0から t²-10≦0 これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=- t=±√10 のとき x=± したがって x= 2√10 5 x=1 2√10 5 2√10 5 '10 y= 5 y=- -4t 2.5 2t 2/4 をもつ。 5 √10 ① から y=± 5 (複号同順) √10 5 のとき最大値 10 のとき最小値-√10 参考 実数 a, b, x, y につ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー・シュワルツの不 等式)。 (ax+by)³s(a+b) (x² + y²) [等号成立はay=bx] a=2, b=1 を代入すると (2x+y)=(2+12)(x2+y²) x2+y²=2 であるから (2x+y)^2≦10 よって -√10 ≤2x+y≤√/10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして、左と同じ答 えを導くことができる。 187 3章 13 2次不等式