Question

とまと

数Ⅰの二次不等式です。なぜ判別式Dが出てくるのかがわかりません。また、D≧0となるのもわかりません。
教えていただきたいです！

解答
122 2変数関数の最大 最小 (4)
重要 例題
0 0 0
実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
[類 南山大] ・基本 101
求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2 から文
字を減らしても、 2x+yはx,yについての1次式であるからうま
指針
.....
2x+y=t とおくと y=t-2x
これを x2+y2=2に代入すると0
x2+(t-2x)=2
くいかない。
そこで、2x+y=tとおき,tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
2x+y=t をy=t-2xと変形し, x2+y2=2に代入してyを消
去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0の利用。
CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用
整理すると
5x²-4tx+t2-2=0
ONO
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると D≧0
ここで
D=(−2t)²-5(t²-2)= − (t²−10)
D≧0から
これを解いて
①から
よって
4
もつ。t=±√10 のとき
(10
5
t=±√10 のとき, D=0 で, ② は重解x=-
KETI
y=+
x=
2√10
5
x==
9
2√10
(複号同順)
y=
t²-10 ≤0
-√10 ≤t≤√10 <3 -$80x2A 1-2x
x=±
5 $
①
/10
5
y=-
S-(S-x)=5+:
......
2√10
5
√10
5
(s+y)=s+ツの不等式)。
(2)
1
で
-4t_2t8
2.5 5
のとき最大値 10
V
見方をかっ
3+1 &
のとき最小値-10
参考実数a,b, x, y に
ついて,次の不等式が成り
立つ(コーシー・シュワル
(ax+by)² ≤(a²+b²) (x²+x²)
[等号成立はay=bx]
この不等式にa=2,6=1
を代入することで解くこと
もできる。
をt=±√10 のとき, ② は
5x2+4V10x+8=0
(√5x+2√2)=0
よって
える
ゆえに
x=±
2√2
√5
203
①から
=±
としてもよい。
2√10
15
/10
y=±
5
(複号同順)

二次不等式 判別式 最大、最小

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

＞数Ⅰの二次不等式です。

●「２変数関数の最大・最小について」らしいので

　以下は，それに，Ｄを使う事の参考・概略です

――――――――――――――――――――――
＞なぜ判別式Dが出てくるのかがわかりません。

＞また、D≧0となるのもわかりません。

●判別式Ｄは2次方程式の解を判別するもので，

　　Ｄ＜0　で，実数解無し

　　Ｄ≧0　で，実数解有り

　　と2次方程式のところで学習したと思います

●この問題は，条件式をxとtを用いて

　　5x²－4tx＋t²－2＝0　と表し

　　xが実数[⇔Ｄ≧0]という条件で，

　　　不等式を作り，tの範囲を考えています

　つまり「xが実数」という条件を使う為に

　　判別式Ｄを用いて，実数ならＤ≧0となることから

　　2次不等式を解いて，tの範囲を求めています

　★計算では，式の簡略化のためＤの代わりに，

　　Ｄ/4を用いています

とまと

ありがとうございます！
少し質問なのですが、xが実数でないとtは求めることができないということでしょうか？「xが実数」という条件をつける理由がよくわからなくて…
教えていただきたいです！

mo1

＞xが実数でないとtは求めることができないということでしょうか？

＞「xが実数」という条件をつける理由がよくわからなくて…

●問題文が

「実数x，yがx²＋y²＝2を満たすとき，」
「2x＋yのとりうる値の最大値と最小値を求めよ。」
「またそのときのx，yの値を求めよ。」

となっていますので、

「xが実数」という条件は、問題を解く大前提です。

　この条件は抜かすわけにはいきません。

　この条件を抜かしたら、tも何も求める事はできません

―――――――――――――――――――――――
補足

　一応、不等式の計算結果としてのｔの値・範囲は出てきますが･･･

とまと

本当ですね！！問題文に書いてありました！！
わかりやすいご説明ありがとうございました😊