Question

Hi（受験生）

判別式を用いる2変数関数の最大最小の問題はメジャーですか？tで置き換えて判別式で求める方法があまりしっくりきません。

重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4)
00000
実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。
[類 南山大] 基本98
指針
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても,
2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると
x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ⇔D≧0の利用。
CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用
解答
2x+y=tとおくと y=t-2x... ①
これを x2+y2=2に代入すると
整理すると
5x²-4tx+t2-2=0...... ②
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は,
②の判別式をDとすると D≧0
ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10)
4
x2+(t-2x)=2
D≧0から
t²-10≦0
これを解いて -√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=-
t=±√10 のとき x=±
したがって x=
2√10
5
x=1
2√10
5
2√10
5
'10
y= 5
y=-
-4t
2.5
2t
2/4 をもつ。
5
√10
① から y=± 5
(複号同順)
√10
5
のとき最大値 10
のとき最小値-√10
参考 実数 a, b, x, y につ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー・シュワルツの不
等式)。
(ax+by)³s(a+b) (x² + y²)
[等号成立はay=bx]
a=2, b=1 を代入すると
(2x+y)=(2+12)(x2+y²)
x2+y²=2 であるから
(2x+y)^2≦10
よって
-√10 ≤2x+y≤√/10
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして、左と同じ答
えを導くことができる。
187
3章
13
2次不等式

例題119
0₁ S=2x + 1 = 0.
x² + y²₁²²²2 -0.
·8²² = 4x²+² + xy + y J. & T.
DJ M L T Z e Y²
<76>
条件式は文字を減ら方針を進めたいが、
x+1=2を変形させる2x9に代入するのは上手くいかない。
そこで、2x+4=tとおき、これを条件式と見く文字を減らす。
2x+4=tとおくと、1=-2x-①
これをスムゲニュに代入すると、いつもと逆に代入する!!
x² + ( t = 2 x)²³² = -
2
5x²²-ftx + t²² - ² = 0 - 0
2
が実数解をもつための条件は④の判別式をDとすると
B² = ( ²25 1²- 5 (1²-2)
= ft² = 5t²³²+ lo
= -(t² = 10),
DZOFY. - (t = 10) = 0
t-10 ≤0
-√√₁0 = = = √ (0
t=xloaともD=0ざ、②は重解をもつ、
頂点のx座標
20
J
+ = + √10 ₂ ² ² 2 ² 2 ²10 0 + Y Y = 2/10 - (+10 |
2
(722471-3-2125 cz!!
17=71₁²₁²2 (2,4)= (-30 To Larzt Co
T TA JO
1x. 4) = (-2/10 -(0) art #int -110
tf
KOKUYO

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

メジャーですか？の意味がよくわからないですが、数2の図形と方程式のところで出てくる解き方で解くほうが一般的なので、この解き方はあまりメジャーではないです。

TKM

外から失礼します。
数2の図形と方程式での解き方を教えて頂けないでしょうか？
この解答での解法も、図形的な見方で解いてると思うのですが…

Answer 2

でど

他の方も説明されていますが、一応。
2変数関数の問題は、

(1)文字消去
　→xなどを消して判別式評価などに持ち込みます

(2)順像法(文字固定やファクシミリの原理として調べてみてもいいと思います)
　→今回のような解き方です。何かをある定数でおいて、それについて考える方法です。しかし、一般的には1文字固定が主流なので、今回ではx＝tなどとおくのがメジャーではあるかなと思います
(ちなみに地味に、今回の解き方は(3)とのあいのこではあります。というかだいぶ(3)の考え方に近いかなぁ)

(3)逆像法
　→数2で習います。結果を利用して、(同値変形によって)答えを導く方法です。今回などはx²+y²=2などは意外にも簡単に書けてしまうので(原点O、半径√2の円になります)、結果から推察して、2x＋y＝tとおき、そのtの最大値最小値を求めることが出来ます(2x＋y＝tを一次関数と見て二つのグラフが交点を持つところでt(一次関数のy切片)の最大最小を調べられます)

(4)不等式評価
　→コーシーシュワルツの不等式や、相加相乗平均の不等式などを使って、最小値最大値は案外簡単にもとまったりします。

さらに、xとyが入れ替えられる時は対称式といいまたこれもコツがあります。
全てが大学入試では必須の知識というか考え方になるので、今回の問題を何パターンでも解けるようにしてください。

でど

ちなみに、③とのあいのこというのは、tの範囲がが最大最小をあらわすということだからです。
結果から考えて、2x＋yの最大最小はとりあえずtとおいておくことによって、tの範囲を求めれば勝利となります。
ここでこれを満たすtの条件は、、、、と逆の手順から考えていっている(素直に文字消去ではなく、何と答えを見つけたところからスタートするという手順が逆と言えますね) ので、逆像法ともいえます。

Answer 3

TKM

問題や大学のレベルにもよりますが、いわゆる「解けないといけない問題」に分類されるとは思います。
しっくりこないというのは、どうしてその方法を思いつくのかが分からない、ということでしょうか？