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基本例題156 第2次導関数と等式
|1) y=log(1+cos.x)のとき, 等式y"+2e-=0を証明せよ。
| 2) y=e"sinx に対して, y"=ay+by' となるような定数 a, bの値を求めよ。
DOOO0
[(1)信州大,(2) 駒浮大)
基本 155
指針>第2次導関数 y”を求めるには,まず導関数 yを求める。また, (1), (2)の等式はともに
*の恒等式である。
(1) y”を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また、e-をxで表すには, 等式 e'oEPニかを利用する。
(2) y, y”を求めて与式に代入し,数値代入法を用いる。
5章
解答
(1) ソ=21og(1+cos x) であるから
(1+cosx)
ゾ=2.
41og M*=klogM
なお,-1Scosx<1と
(真数)>0 から
2sinx
1+cosx
1+cosx
2{cosx(1+cosx)-sinx(-sinx)}
y"=ー=
1+cosx>0
よって
(1+cosx)
2(1+cosx)
(1+cos.x)
2
<sin?x+cos?x=1
1+cosx
4elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
また,=log(1+cosx) であるから
e2=1+cosx
2
2
2e-=-
e2
ゆえに
1+cosx
2
2
I よって
"+2e-
30
1+cosx
2 ミー
1+cosx
(2) y=2e2* sinxte* cosx=e2*(2sinx+cosx)
ゾ=2e2"(2sinx+cosx)+e«(2cos x-sinx)
=e*(3sinx+4cos x)
ゆえに
4(e)(2sinx+cosx)
+e(2sinx+cos.x)'S)
ay+by'=ae*sinx+be"(2sinx+cos x)
参考(2)のy=ay+by'の
ように,未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式 と
=e*{(a+26)sinx+bcosx}
の
ア=ay+by' にO, ② を代入して
e(3sinx+4cos x)=e2*{(a+26)sinx+bcosx} ③ いう(詳しくはか.473参照)。
のはxの恒等式であるから, x30 を代入して
また、x=を代入して
4=b
(3が恒等式=③にx=0,
π
を代入しても成り立つ。
3e"=e"(a+26)
2
これを解いて
a=-5, b=4
このとき
の右辺)=e*x{(15+2-4)sinx+4cosx}=(③ の左辺) 逆の確認。
a=-5, b=4
したがって
次導関数、関数のいろいろな表し方と導関数
