例題13
特殊な3次式の因数分解
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(1)°+°=(a+b)3-3ab(a+b) を利用して,'+b+c-3abc
を因数分解せよ.
(2)(1)の結果を利用して, 次の式を因数分解せよ.
(ア)x3+y'+3xy-1
(イ)(x-1)+(y-z)+(z-x)3
考え方 (2) (1)の結果を利用するので, □△○□△の形になっているか式を見極
る。 (ア)は,O=x, □=y, △=-1 とすると,-3○□△=-3xxxyx(-1)=3
となる.
解答
(1) α'+63+c33abc
=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
={(a+b)+c}-3ab(a+b)-3abc
a+b=A とすると,
=(a+b+c){(a+b)2-(a+b)c+c2}
'+C3
-3ab(a+b+c)
=(A+c)(A'-Ac+c2
=(a+b+c){(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab}
(a+b+c) が共通因数
=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)
=(a+b+c)(a+b2+c-ab-be-ca)
(
輪環の順
(2) (ア)x+y+3xy-1
=x+y+(-1)-3xy(-1)
=(x+y-1){x2+y2+(-1)2
-xy-y(-1)-(-1)x}
(1)において,
a→x, b→y,
C→-1
の場合である.
=(x+y-1)(x2+y^-xy+x+y+1)
(イ) x-y=a,y-z=b, z-x=c とおくと.
a+b+c=(x-y)+(y-z)+(z-x)= 0 より,
(x-y)+(y-z)+(z-x)
='+63+c3
(1)の結果から
=(a+b+c)(a+b2+c-ab-bc-ca)+3abc3abc を移項する。
=3abc
=3(x-y) (y-z) (z-x)
<??? a+b+c=0
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