この、右のページでやっていることが、なぜ成り立つかわかりません

370 340 第9章 整数の性質 不定方程式 y 次のような方程式を考えてみます. -2231x+409y=1 2231x+409y=1 ...... (*) これを満たす実数x、yの組は無数に存在しま す.実際,この式を 1 409 この直線上すべての 点(x,y) が解となる 1 2231 1 y=-- x+· 2231 409 409 -x と変形すると,これはry 平面上の直線となるの で,この直線上のすべての点(x,y) がこの方程式の解となるわけです. 一般に,文字の数が等号の数より多い方程式は解を定めることができません。 このような方程式のことを不定方程式と呼びます.特に,(*)のようにxy の一次式で表されるような不定方程式を一次不定方程式と呼びます. さて,ここで考えたいのは次のことです. 不定方程式 2231x+409y=1 ......(*) は りがともに整数であるような解(整数解)を持つだろうか? これは意外に難しい問題です。 実数の範囲では無数に解を持ったとしても 整数の範囲では解を持つかどうかすらアヤシイのです. 結論から先に言えば (*)の整数解は存在する のです.では,それをどうやって示せばいいのでしょう. 妖怪が存在すること を示す最もストレートな方法は,妖怪を捕まえて連れてくることです. それと 同じで,整数解の存在を示す一番の方法は、 具体的に整数解を作ってみせるこ とです.ここで役立つのが,先ほど扱ったユークリッドの互除法なのです. (*)のxyの係数 2231 と 409 に注目し, これをユークリッドの互除法の 要領で「割り算」 していきましょう. すると, 3段階目で余りに1が現れます. 2231=409×5+186 ......① 409=186×2+37 186=37×5+1 1が現れた! ...... 2 余りに1が現れたということは, 2つの数の最大公約数は 1 つまり2数は 互いに素であるということです. これはとても重要なポイントなので、頭に入 ておいてください 341 ことは,これらの式を逆にたどるよ にして1を元の2数を用いて表す」 ことです。 具体的には,次のような作 になります。 ⑦→ ④→ ← 1=186-37 × 5 ③ より =409×(-5)+186 × 11 186-409-186×2)×5②より37=409-186×2 =409×(-5)+(2231-409×5)×11-0) =2231×11+409 × (-60) - 186-231-409×5 まず、③により1が 「186と37」 を用いて表され(ア), そこに②を使うと 「409 と 186」 を用いて表され(イ), さらに①を使うと1が 「2231409 」 を用いて表されます(ウ) ウの式は,まさに(*)の整数解 (の1つ)が であることを教えてくれます。 x=11,y=-60 さて、先ほど注意したように,このようなことができたのは, そもそも の係数 2231 409 の最大公約数が 1 つまり互いに素であったからです。 つまり、一般に次のことが成り立つことがわかるのです. 不定方程式の整数解 bが互いに素な整数であるとき 1次不定方程式 ax+by=1 は整数解を持つ ユークリッドの互除法を用いれば, 一次不定方程式の整数解を具体的に作り 出すことができます.ただし,このやり方で見つかる整数解は、あくまで不定 方程式の整数解 「の1つ」であり,それがすべての解であるわけでも、あるい は最もシンプルな解であるわけでもないことには注意してください。 当然次なる興味は,1次不定方程式の「すべての整数解」を求めることは きないかということになります.この「すべての整数解」のことを次 定方程式の一般解といいます。その求め方は後ほど詳しく説明しますが、実 「すべての」 整数解を求めるためには, 少なくとも「1つの」 整数解を自 求めなければなりません.そこで,まずは先ほどの作業で「1つの」整数 求める練習をしっかりとしておきましょう。

(3)教えてください

O* 66 (1) ユークリッドの互除法を用いて、89と29の最大公約数を求めよ。 070 (2) 2元1次不定方程式 89x+29y=1の整数解を1組求めよ。 (3)2元1次不定方程式 89x+29y=-20 の整数解として現れるxの値のう ち,正のものを小さい順に x1, X2, X3, … 対して, xm を m で表せ。 m に とする。このとき,自然数 [16 岩手大] +++ 1次不定方程式 まず, 方程式を満たす整数解を1つ見つける。 方程式の係数が ポイント 大きく, 整数解が簡単に見つからない場合は、 ユークリッドの互除法を利用して 見つける｡

ここ問題のやり方がよく分かりません。どうゆう思考で解いてけばいいですか？

143 1次不定方程式の整数解の存在条件 <判断力 次の⑩~③の1次不定方程式のうち, 整数解 (x,y) が存在しないものを1 つ選べ。 ア ⑩ 23x-31y=1 O ② 481x+407y=1 ① 23x-31y=-2 ③ 481x + 407y=37

解き方を教えてください🙇‍♀️

70 整数の剰余 は100 以下の正の整数,nを4で割ると1余り, n²を5で割ると1余る。 このような整数n は全部で アイ 個あり、nの最大値はウエである。 71 1次不定方程式 等式 3x-7y=1 ・① を満たす自然数x,yの組のうち、 xが最小である組は (x,y)=(ア である。これを用いて, ① を満たすすべての自然数x,yの組を求めると (x,y)=(ウ t+ t+ イ) (tは0以上の整数) である。 ア エ

129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

(4)の過程とその理由まで詳しく教えていただきたいです！ 何がこの問題の材料になるかわからないので全て掲載しておきます。 また、写真の枚数制限により、半分の回答が載せられなかったので、下に書いています↓ コ　6 サ　9 シ　1 ス　0 セ　3 ソ　1 タ　7 チ　0 ツ　1

数学Ⅰ・数学A 第4問~第6問は、いずれか2問を選択し、 解答しなさい。 第5問 選択問題)(配点20) 以下では, a = 756 とし, m は自然数とする。 (1)αを素因数分解すると zł a=2L 2.3. ウ である。 αの正の約数の個数はエオ個である。 (2) √am が自然数となる最小の自然数mはカキ 2 るとき, mはある自然数により, m= カキ のときの√am の値はクケコである。 19216² 15 2/296 2/1398 ③189 (3) 63 3/221 7 756 21 AL √am が自然数とな である。 (数学Ⅰ・数学A 第5問は次ページに続く。) 7,56 12 - 28- ③2 と表される数であり,そ 215876 万7938 3969 1323 132 441 7) 147 221 3 1956 2.3.7.3. 9 63 2 (26 (2,604-28) (17

下から3行目のn=k+1 はどこから出てきたのかわかりません。教えていただけると助かります！

例例題 274 2つの等差数列の共通の 初項1,公差2の等差数列{an} と初項 1, 公差3の等差数列{bn}がある。 (1) 数列{an}と{bn}の一般項をそれぞれ求めよ。 思考プロセス (2) 数列{an} と {bn}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてで きる数列{cn}の一般項を求めよ。 3176 H (2) 未知のものを文字でおく {an}の第1項と{bn}の第m項が等しいとする。 ⇒21-1=3m-2 (L,mは自然数)す 1 (1) 数列 {an}の一般項は an=1+(n-1) 2=2n-1 >21-3m=-1の自然数解 BAINS 1次不定方程式 Action» 等差数列{an},{bn}の共通項は,a=bm として不定方程式を解け 脂質問を募ることの門商法 数列{bn}の一般項は a S bn=1+(n-1)・3=3n-2 (★★) 309 (2) {an}の第1項と{bn}の第m項が等しいとすると, 21-1=3m-2より 21-3m=-1 l=1,m=1 はこれを満たすから 40 2(1-1)=3(m-1) ･① 2と3は互いに素であるから, 1-1は3の倍数である。 よって, l1 = 3k(kは整数)とおくと l=3k+1 これを①に代入して整理すると m=2k+1 lm は自然数より k = 0, 1, 2, nは自然数より,n=k+1 とおくと k=n-1 ゆえに, l=3n-2 (n=1,2,3, ・・・) であるから Cn = d3n-2= -2=2(3n-2)-1=6n-5 〔別解) A IS 2つの等差数列の項を書き並べると {an}: 1, 3,5,7, 9, 11, 13,15, 17, 19, です SSS - ST {6}: 1,4,7, 10, 13, 16, 19, よって、求める数列{cm} は,初項1の等差数列となる。 公差は2つの数列の公差2,3の最小公倍数6である から Cn=1+(n-1)・6=6n-5 一 a=bm 165303 21-3m=-1 -) 2・1-3・1 = -1 2(1-1)-3(m-1)=0 [*+-+*+/ 3k+1≧1 より ≧0 【2k+1≧1 より ≧0 AREN ■nとんの対応は,不定 方程式 ① を解くときに用 整数1, m の組によっ 変わる。 具体的に考える {an},{bn} を具体的に書 き出して、規則性を見つ ける {cm}:1,7,13, 19, EVAYER 3ªð

数Aの質問です。3つの方法すべて知りたいです。

私の年齢は、3で割ると余り 5で割ると4余り, 7で割ると余る. 私は何歳でしょう。 この問題を3つの異なる方法で「3回倒して」下さい。 ひとつは「百五減算」, ひとつは「1次不定方程式」で倒せます。 もうひとつは、自分で考えて下さい.

一次不定方程式の整数解を求める問題の中で、終盤の計算の部分にx+1、y-2 を整数kを用いて表すところがあるのですが、それぞれ、-5k、9k としてはいけないのでしょうか？　この場合、模範解答と符号が反対になりました。

基本例題 127 1次不定方程式の整数解 (1) 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 メ (1) 9x+5y=1 解答 (1) 9x+5y=1 ..... ... GX (2) 19x-24y=1 指針▷ 1次不定方程式の整数解を求める基本 まず。 1組の解を (1) x,yに適当な値を代入して1組の解を見つける。 方法は [1] 係数が大きいxに1, -1 などを代入して,yが整数と [2] 9x を移項して 5y=1-9x この右辺が5の倍数と (2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない 法を利用して見つけるとよい。 解答下の注意 を参照。 ax+6 ① 1&CIE x=-1, y=2 は ① の整数解の1つである。 よって 9・(-1)+5・2=1 ② ① ② から 9(x+1)+5(y-2)=0 ア すなわち 9(x+1)=-5(y-2) (3) 95は互いに素であるから, x+1は5の倍数である ゆえにを整数として, x+1=5k と表される。 300 ...... ...... p.5 3 THE ③に代入して 9.5k=-5(y-2) すなわちy-2=-9k よって,解は x=5k-1, y=-9k+2 (kは整数) (A) ...

chart&solution の部分の解説がよく分かりません どういう時になぜ使うのですか？？

383HQ 00000 重要 例題 82 2つの等差数列の共通項 一般項が7n-2である等差数列{an}, 一般項が4n-1である等差数列を {bn} とする。{an} と {bn}に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列 基本76, 数学A 基本 122 {C}の一般項を求めよ。 CHART O SOLUTION 2つの等差数列{an}, {bn} に共通する項 a=bm として, l,mの1次不定方程式を処理・・・･･・!」 と表される 1次不定方程式 ax+by=c(a,bは互いに素)の整数解を求めるには, 1組の解 (p, g) を見つけて α(x-p)+b(y-g) = 0 とする。 (改訂版チャート式解法と演習数学A基本例題122を参照) 解答 a=bm とすると 71-2=4m-1 よって 171-4m=1 ・① l=-1, m=-2 は ① の整数解の1つであるから 7(l+1)-4(m+2)=0 (1 すなわち 7(l+1)=4(m+2) ② 7と4は互いに素であるから、②を満たす整数は l+1=4k すなわち l=k-1 (kは整数 1>1 +tent h>104+ ...... 17.(-1)-4-(-2)=1 より, l= -1, m=- は ① の解である。 16-171 1. kは自然数。 I≧1 てな