Question

Hi（受験生）

129.
記述これでも大丈夫ですか？？

JUL
510
OS
00000
基本例題1291次不定方程式の応用問題
3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の
ものを求めよ。
指針▷
基本 127,128
が共通の数。
8が最小である。
3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,
5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23,
よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると
3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。
A8, 23, 38, 53, 68,
また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53,
A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。
このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな
い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。
-110/
そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。
CTORUTSJEFE
解答
nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3
3)=0 S&TS
5y+3=7z+4
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
小
3x+2=5y+3 から 3x-5y=1
x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x
3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表
される。よって x=5k+2(kは整数)
②
bom)
3(5k+2)+2=7z+4
② を 3x+2=7z+4に代入して
ゆえに
z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4)
7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と
表される。 よって z=151-8 (Zは整数)
(Thom)
これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528
最小となる自然数nは, l=1 を代入して
53 TE bom) 85-=
として解いてもよいが,係
数が小さい方が処理しやす
い。
このときy=3k+1
x-7z=2から
7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0
ゆえに, Zを整数として
x=7l+3
これと x=5k+2 を等置し
て 5k+2=7l+3
よって5k-71=1
これより, k, lが求められ
るが, 方程式を解く手間が
1つ増える｡
検討 百五減算
2+(3=376)00=1+00=178
ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす
る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年
齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ
る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。
求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり,
n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7)
よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。
ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k
このkが105を引く回数である。
TRON
練習
3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち
(3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。
どのよう
できない
3m
よー
解答
mnは食
[1] n=
よって,
x=3m-
[2] n=
ここで.
よって
......)
[3] n=
ここで
よって
......)
[1]~[3]
形に表す
よって,
したが一
(検討
次ペー
しかし
然数も
なお、
a

例題129
EZZ # k l m z Fuzz
n = 3k + ₂
5df)
= 7m + f
3k + 2 = l + 3 cafe
ok-sl = 1/-0
ⒸaF²² 12 ₁2k₁-3₁ = -2
a
トー
£₁23-3-5(-2)= | - 0
O
3²(k+51 - 5 (1 + ²) = 0
21
3 (²+ - ³ | = 5 (1 + ² ) ~ ☺
5| le
3℃とは互いに素である。ぐ
k + 5 17 3 a 1207.
整数aを用いるとk+b=IQ
これを③に代入すると
3-5α = 5(8 + x)
3a = l +
£₁ 24² = 5α = 3₁ l = 3a - 2 - (x)
さ
$7= 5l + 2 = 7m + 4
£₁251-7 mm = / - Ⓡ
Ⓒa ²²7 α 17 12 l = 3₁ m² = 2
F x
7.2
=
71m
Ilm
-2
©
= 0
l = 3a - 2₁ l = 76+3 = ²7
Ja -
8b+ 2
2a-76
(6) α Fα 1 2 1 2 α =
J
2
7
Ⓒ = 0 + 1
J
e
3
sl
5
Je 7 7 9 1 Va
l - I F Ta T&#XJ. & Jad"
327124-11-20
整数bを用いるとl-3=7bla-とはその倍数である。
よ.2l=7b+3.
** Zu z α = T₁ xXx
C
S
6
2
1
2
-
NO.
DATE
6
4.6:1
23-4-7.1
=
13/a-41-716-11=0
3 (α - x) = 7 (6-1)
これを(*)に代入すると
d = 3(7c xx / -2
= 150+5)
= 2/0 +10
Lacniac=0₂²F¶n=15³5 41231 n = 5(²/c +10) +h
10
5-10
KOKUYO
15
30