次の問題は青いところを暗記するものなのでしょうかそれとも最初から導出？するものなのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

a=3+4i, β=1+3i とするとき,原点0と点A(α) を通る直線に関し て点B(β) 対称な点 C を表す複素数を求めよ。 思考プロセス 段階的に考える I. 対称軸が実軸と なるように回転 II. 実軸に関して対称 III. I と逆の回転移動 y y▲ YA B_ A(a) B. A(α) C -B' ●B' 0 0 l' x l' x C' x C' Action》 線対称は,対称軸が実軸に重なるように回転して共役複素数をとれ 解αの偏角を0とすると a= =|a| (cos0+isin 0 ) y また a=|a|{cos(-9)+isin(-0)} よって, 点Bを原点を中心に だけ回転した点を B'(B') とすると 34 a 0 -0. a B' =β{cos(-8) +isin(0)} A 1 =β-- a C a B' 点 B' を実軸に関して対称移動し た点をC'(y') とすると C' 点と点は実軸に関 して対称の位置にある。 y' = B' = a B 1 点C(y) は点C'を原点を中心にだけ回転した点であるか ら y=y' (coso+isin0)=y'. a a = 1 1 Tal 3+4i 1 1 a -aB a = B = B 2 a² = aa a a a 13 9 = ·(1-3i) = + i 3-4i 5 5 Point 複素数平面における線対称 複素数平面上の点A(a),B(β) に対して, 直線OAに関して点B の対称点をC(y) とす a ると r = B a また, arga = 0(0≦0/2z) とすると y= (cos20+isin20) β (問題 54 参照)

次の問題で青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス a=3+4i,β=1+3i とするとき, 原点と点A(α) を通る直線に関し 点B(β) 対称な点 C を表す複素数を求めよ。 段階的に考える I. 対称軸が実軸と なるように回転 II. 実軸に関して対称 III.Iと逆の回転移動 YA y B. A(a) B. A(a) •C B' 0 l' x B' l' x C' x C' Action》 線対称は, 対称軸が実軸に重なるように回転して共役複素数をとれ 解 αの偏角を0とすると a = |a|(cos0+isin0) a また a=|a|{cos(-0)+isin(-0)} よって, 点Bを原点を中心に0 だけ回転した点を B'(B') とすると B' =β{cos(-8)+isin(0)} 31 a A B. C a | a | B' 点 B' を実軸に関して対称移動し た点をC'(y)) とすると 1 r' = B' = Tal aB x 1点zと点 z は実軸に関 して対称の位置にある 点C(y) は点C' を原点を中心にだけ回転した点であるか ら y=y'(cos+isin0) = y'. 1 1 = ab a= a a 3+4i == (1-3i): = 3-4i 1 √ a a 1 | α / 2 a² B 13 + 5 9 i 5 = B | a |² = a a

4分の7でも合ってますか?

(2) (東点中心 恵原点中心に (1001) TV 2 点を原点を中心にだけ 回転移動せも原点からの 距離を返信した点。

四角で囲ったところはなぜ➕なのですか？

応用 例題 4 3点A(a),B(B), C(y) を頂点とする正三角形ABC がある。 α=1+2i, β=7+4i のとき, 点Cを表す複素数を求めよ。 考え方 点Bの点Aを中心とする等の回転移動を考える。 解 △ABCは正三角形であるから, yA C(r) 点C(y) は, 点Bを点Aを中心と して1または2だけ回転した A(1+2i) 73 点である。 3 0 これより, r-a= (cosisin (B-α) 3 または, 7-a={cos (-1)+isin(-1) (8-a) したがって, x=(1/13 2 3 i) (6+2i)+1+2i C(r) B(7+4i) XC

(2)です。 偏角は4分の7πでも大丈夫ですよね?!

520 904 基本 例 100 複素数の乗法と回転 0000 (1) z=2-6i とする。 点ぇを, 原点を中心として次の角だけ回転した点を 複素数を求めよ。 (ア) T 6 (イ) 一 π 2 (2)点(1-1)は,点zをどのように移動した点であるか。 指針 g=r(cos0+isin0z のとき 点では、点を原点を中心として0だけ回転し、 原点からの距離を倍した点である。 (特に,r=1のときは回転移動のみである。 このことを利用する /P.513基本 2- (1) 絶対値が1で、偏角が 掛ける。 6 2 とした かかれて (1) 求める点を表す複素数は 解答 (7) (cos +isin)-(+)(2–6i) =√3-3√3i+i+3 =3+√3+ (1-3√3) i (1) {cos(−)+isin(−)}z=-(2-6) (2) 1-iを極形式で表す。 CHART 原点を中心とする角0の回転 r(coso+isin 0 ) を掛ける いないから である複素数をに 0 回転だけならr=1 キョリは =(√3+i) (1-3) 練習 ① 100 =-6-2i (2) (1-1)=√2 YA √2 = √2 (cos(-4)+isin(-) 0 よって, 点 (1-1)zは,点zを 原点を中心として-7だけ回転 注意 (2) と同様に考える。 iz…原点中心の 1-i iz 原点中心のプ し、原点からの距離を2倍した点である。 (1) z=2+4iとする。点zを,原点を中心として - 素数を求めよ。 ･･･原点中心の回転 であることが導かれる。 πだけ回転した点を (2)次の複素数で表される点は,点zをどのように移動した点であるか。 -1+i ア √2 2 (イ) 1-√3i (ウ) p.524 EX

この問題なのですが、まだ複素数平面を習っていないので、複素数平面を使わずに解く方法ありますか？

■■ 70 第4章 式と曲線 # CONNECT 18| 双曲線x²-y²=2を,原点を中心としてだけ回転移動するとき, 移動後の曲 線の方程式を求めよ。 考え方 平面上の回転移動では, 複素数平面を利用するとよい。 2次曲線の回転移動 すなわち, 座標平面上の点 (x,y) と複素数平面上の点x+yi を同じものとみて 考える。 点P(x,y)を原点を中心としてだけ回転した点をQ(s,t) とすると,点Qは 点Pを原点を中心として-9だけ回転した点であることに着目する。 解答 原点を中心とするこの回転によって,双曲線x-y=2上の点Q(s,t) が点 P(x, y) に移るとする。 点Qは点Pを原点を中心として一匹だけ回転した点であるから, 複素数平 面で考えると s+ti= ti={cos(-x)+isin(-x)}(x+yi) = (1/₁2 - 11/12/²)(x+yi) √2 =1/1/12(x+y)+1/1/28(-x)i √2 √√2 S= よって ① 1/1/2/(x+y), t = 1/2/(x-x) √2 √2 点Qは双曲線x2-y2=2上にあるから ① を代入して整理すると xy=1 s2-f2=2 -√2 T ya|xy=1 201 x²-y²=2 ----T 1 √2 x

なぜXとYの式を√2（X-Y）=（X+Y）²に代入すると、曲線Aを原点を中心としてπ/4だけ回転させてできる曲線の方程式が求まるのですか？？

358 重要 例題 234 回転移動を利用して面積を求める fix √ 2 (x-x) = (x + y)² 281 82 8 (1) 曲線 A を原点Oを中心としてだけ回転させてできる曲線の方程式 (2) 曲線 A と直線x=√2 で囲まれる図形の面積S CHART SOLUTION (1) 重要例題 47 と同様に, 複素数平面上の点の回転 を利用する。 曲線 A 上の点 (X,Y) を原点を中心 解答 (1) 曲線 A 上の点(X,Y) を原点を中心としてだけ回転し た点の座標を(x,y) とする。 複素数平面上で, P(X+Yi), Q(x+yi) とすると, 点Qを原 点を中心としてだけ回転した点がPであるから X+Yi={cos(-x)+isin(-x)(x+ (x+yi) としてだけ回転した点 (x, y) に対し, X, Yを それぞれx,yで表す。 (2) 図形の回転で図形の面積は変わらないことに注目。曲線 ともに原点を中心としてだけ回転した図形の面積を考える。……… これは,直線x=√2を原点を中心としてだけ回転した 直線の方程式である。 PRACTICE 00000 直線x=-y+2 と曲線 x=y2 の交点のy座標は, -y+2=y2 から (y+2)(y-1)=0 ゆえに y=-2, 1 よってS=S(-y+2-y") dy=-S_(y+2)(y-1) dy --(-)-(-2²- (X, Y) = 20.10 重要 47, 基本 226 9 今回転 =(x,y) 回転 これから x = 1/12 (x+y)...①, Y=- √( =(-x+y) これらを√2(XY) =(X+Y)2 に代入すると2x=(√2y) X-Y=√2x, すなわち x=y² これが求める曲線の方程式である。 (2) ①をX=√2 に代入して整理すると x=-y+2 X+Y=√2y 直線x=17 YA I O D x=-y+2 ← S²(y-a)(y-B)dy=-(B-2² 88 6 重要 極方和 が通 式み が通 CHA 解 曲線 綾

1枚目の考えなら理解出来てるんですが(答えは2枚目です、1枚目は自分で作った式です)、2枚目が理解できません(想像できません、、) 教えて欲しいです

(x-1)-2 r 2-X² + ²3²*² = — ^-x Co₁ ( 3² ^² - x) = X | Cop ( 37-x) = x Copy

数3、式と曲線の範囲です🙇‍♀️ 解答は赤文字なのですが、その下の形（双曲線〜）まで持っていってしまっても大丈夫でしょうか？

|B 93 次の曲線を,原点を中心として( )内の角だけ回転移動して得られる曲線 の方程式を求めよ。 (1) xy=-2 (2) x²+y²=1 (4) よって 点P(メット)が回転した点を点Q(4)とおく、 複素数平面上で考えると、 X + Yi = [cos (-1) + isin (-7)(x+yi) t √(x+4)=√(9-x)5 は切 SX=(x+y) Y = + (9-x) V2 22 4 π ( 4 ) (3) y²=6x (-7) 3 X Y = -214 √(x^²y7 + √²/2(y=x/= -2 店(x) ( x²-y²=4 6 82 よって双曲線 21 4

数Ⅲ 複素数平面 下の写真の青ペンのところはなぜでしょう よろしくお願いします

重要 例題 38 直線に関する対称移動 複素数平面上の原点を0とし, 0 と異なる定点をA(α) とする。 異なる2点 P(z) Q(ω) 直線OAに関して対称であるとき, aw=az が成り立つことを 証明せよ。 指針> 解答 直線OAに関して 点Pと点 Q が対称 が基本となる。 (*) の2つの条件を複素数で表す。 別解] 複素数平面において, 実軸に関する移動は, 点z このことを利用する。 すなわち, 対称軸 (直線 OA) が実軸 に重なるように移動してまた戻す、という要領で, 回転移動 と実軸に関する対称移動の組み合わせで考える。 具体的には, 次の順番で移動を考える。 ただし, 0はαの偏角である。 P OA に関して対称 P PQ HOA であるから, ある。 よって, z w a 共役な複素数として表される。 点えのように、 + z-w a z-w a + Qは -0回転 W-Z 2-0 2-w a-0 PQLOA 線分PQの中点が直線OA 上 z-w P' = 0 から から =0 実軸対称 じゃないの? は純虚数で Q' 0回転 (*) P(z) A(a) 4 Q(w) 0(0) 基本10. 重要 37 P t YA 0 ◄z-w*0 が純虚数 ●+0=0, 直線OA 実軸 対称 0 ¥0