これはk≠0でさらにkが0より大きいときと小さいときで場合分けしなくて良いのでしょうか？

これを解いて t= -1±√12-3-2 =-1±√5i 3 3 D<0 すなわち 2 <kのとき, 異なる2つの虚 数解をもつ。 [1], [2] をまとめて +2=1/5i であるからx=-754 3 別解 左辺を展開して整理すると x=-7±√5i 3 k=0のとき k<00k<2のとき 異なる2つの実数解; 1つの実数解; 401 3x2+14x+18=0 これを解いて -7±√72-3.18 x=- 3 2007 k=2のとき 重解; 2kのとき 異なる2つの虚数解 -7±√√5i 3 (3) 両辺に √2+1 を掛けると よって x2+(2+√2)x+ ( √2 + 1) = 0 +(-(2+√2)±√√(2+√2 )² − 4 · 1 · (√2 +1) x= -2-√√2±√2 2 2 ゆえに x=-1,-1-2 別解左辺を因数分解すると (x+1){(√2-1)x+1}= 0 よって x=-1, 1 √2-1 すなわち x=-1, -1-√2 (4) x=- 97 -(-1)+√(−1)-1(6+2√6) 1 =1±√-5-2√6=1±√5+2/6 (3) =1±√(3+2)+2/3.2 i = 1± (√3+√2)i ■■■指針■■ x2の係数が文字であるから, 与えられた方程式 は2次方程式とは限らない。 → (x2の係数)=0と(x2の係数) ≠0で場合分 けして考える。 ...... ①とおく。 kx2+4x+2=0 [1] k=0のとき ①は 4x+2=0 よって,①は1つの実数解 x=-- [2] k≠0のとき 一1/2をも をもつ。 ①は2次方程式であり、 その判別式をDとす D ると =22-k.2=2(2-k) 4 D>0 すなわち k <0,0<k<2のとき,異な る2つの実数解をもつ。 D=0 すなわち k=2のとき, 重解をもつ。 98 x2+ax+a+3=0 ...... ① 30x2ax+4=0 ...... ② とおく。 2次方程式 ① の判別式を D1, 2次方程式 ②の 判別式を D2 とすると D₁=a2-4-1 (a+3)= a²-4a-12 =(a+2Xa-6) -D₂=(-a)²-4.1.4=a²–16 =(a+4)α-4) ① ② がともに虚数解をもつのは, D10 かつ D< 0 が成り立つときである。 D<0 から よって D<0 から (a+2)(a-6) < 0 -2<a<6 ... ③ (a+4) (a-4) < 0 よって --4<a<4 ③と④の共通範囲を求めて -2<a<4 99 x2 +2ax+α+2= 0 ...... ① ④ x2-4x+a+3= 0 ...... ② とおく。 2次方程式 ①の判別式を D1, 2次方程式②の 判別式を D2 とすると D1 4 -=a²−1·(a+2)=a2-a-2=(a+1Xa- D=(-2)-1-(a+3)=1-a (1) ①,② の少なくとも一方が虚数解をもつの D<0 または D2<0が成り立つときである D<0から よって D<0 から (a+1) (a−2) <0 -1<a<2 1-a<0 よって+ α>1 ③と④の範囲を合わせて ...... ③ a>-1 L -401 -1 1 2 a

(2)について質問です。 判別式D/4を用いてk(k+2)>0までは導けたのですが、その後なぜk>0のとき、この不等式は確かに成り立ち、以上の考察よりk≧0となるのかわかりません。 教えてほしいです。

(2)x2-2kx-k+3≧0 (4) 2kx2+2kx+k+1>0 個数

(2)の解説がわからないので教えて欲しいです!! 特に右のページの1番上

74 第3章 図形と式 基礎問 第3章 「基礎間 できな 本書で 効率よ ■入試 取り 行い 実に ■「基 題 ■つ とし まし 精 46 軌跡(IV) 58 放物線y=x^2-2x+1 と直線 y=mx について,次の問いに 答えよ. 上の飲物線と直線が異なる2点P,Qで変わるための 囲を求めよ. (2) 線分 PQ の中点Mの座標をm で表せ nの (3)m が(1)で求めた範囲を動くとき, 点Mの軌跡を求めよ. (1) 放物線と直線の位置関係は, 連立させてyを消去した2次 式の判別式を考えます. 「異なる2点とかいてあるので, 判別式≧0 ではありません . (2) (1) 2次方程式の2解がPとQのx座標ですが, m を含んだ式にない 2解をα,Bとおいて,解と係数の関係を利用した方が計算がラクで (3)(1)において,m に範囲がついている点に注意します. (4) 解 答 y=x²-2x+1 ①y=mx ② (1)①,②より,yを消去して, x-m+2)x+1=0 .....③ ③は異なる2つの実数解をもつので, 注 a+β a+m+2 +2..... ⑤ M ( m +2 m'.1.2m) 2 (3)⑤よりm=2x2 ④に代入して,y=x(2x-2) ここで, (1)より,m<-4,0<m だから, 2x-2<-4,0<2x-2 すなわち, x<-1, 1 <x 以上のことより, 求める軌跡は放物線の一部で、 y=2x²-2x (x <-1, 1<x) 参考 M を だけの式で 表せた いつでもæに範囲がつくわけではありません. 75 たとえば, 与えられた放物線が y=x²-2x-1 であったら, 判別式 = (m+2)2 +4>0 となり, mに範囲はつきません. すなわち、この場合は軌跡のにも範囲がつかないというこ とです. ポイント軌跡が放物線のとき, 範囲はにつければよい y につける必要はない (1)がなくて, (2)から問題が始まっていたら, 自分で D>0 を作ってmの とりうる値の範囲を調べる必要があります. 判別式をDとすると,D>0 D=(m+2)2-4 であるから m²+4m>0 :. m(m+4)>0 . m<-4, 0<m (2)③の2解をαβ とすれば, P(a,ma), Q(B,mβ) とおける. このとき,M(x, y) とすれば, y=x²-2x+1 Q I=- a+B 2y= m(a+β) M 2 =mx......④ P 0 a+β=m+2 だから α 1 y=mx ここで,解と係数の関係より 演習問題 46 放物線y=x-2tz+12+4t-4 ......① がある. (1) ① が放物線y=-x+3x-2 と共有点をもつようなtの範囲 を求めよ. (2) tが(1)で求めた範囲を動くとき,①の頂点のえがく軌跡を求め

なぜ重解が2kー1で表せれるのか教えて欲しいです🙇‍♀️

3章: 方程式・不等式 解答・解説 の配 判別式 93 (1) 2+ (2-4k)æ+k+1 = 0 . . . . . 2次方程式 ① の判別式をDとすると D=(1-2k)2-(k+1)=4k2-5k=k(4k-5) 重解をもつからD=0であり 5 k = 0, 31/1 ①の重解は 4 x=-(1-2k)=2k-1 10=4 と表せるから,正の重解となるのはk> 1/2 のときである。 1/12のとき よって, 求めるkの値はk= 5 4 であり,その重解は æ= 114800= 3である。 2 =a 2 (2) 4m² + kx +3=0の判別式をDとすると実数解をもつ条件は D=k2-4.4.3=k2-48≧0 T k≤-4√√√3, k ≥4√√30=++ Ats 2. J2-ax +a2+a-1=0 (3) (a2 + 1)x2 - 2(a + 1)x + 1 = 0 の判別式をそれぞれ D1, D2 とおく。 ともに2つの異なる実数解をもつ条件は D1 > 0 かつ D2 > 0 である。

波線部のマイナス1はなんですか？？ 解説お願いします🙇🏻‍♀️

10 解と係数の関係 29 ② 例題 2次方程式の解の範囲 29 2次方程式 4x2-8mx+m=0が1より小さい異なる2つの解をも つとき, 定数mの値の範囲を求めよ。 この2次方程式の2つの解をα,βとし, 判別式をDとする。 2次方程式が条件を満たすのは,次の① ② が成り立つときである。 D>0 D ここで ①, (α-1)+(β-1) <0 かつ (α-1) (β-1)>0 M =(-4m)2-4.m=4m(4m-1) ①から 4m(4m-1)>0 よって m<0.1/12<m ③ 4 また,解と係数の関係により,α+β=2m, aβ=" であるから m 4 (a-1)+(β-1)=(a+β)-2=2m-2, (α-1) (B-1)=aß-(a+β)+1=7-2m+1=-- 7 4 11/4/m+1 124 ②から 2m-20 かつ 1m 7 -m+1>0 よって m<1 ④ かつ m</ ⑤ 0 14 ③ ④ ⑤ の共通範囲を求めて m<0, <m</ 答 04-7 ③ 1m

数IIの円と直線についての問題です。 解説で分からないところがあったのでお聞きしたいです。四角で囲っているところはどういう意味でしょうか。 見にくくてすみません💦問題番号は194です。

(1) 円と直線が共有点をもつための必要十分条件 は D≧0であるから これを解いて -k²+250≥0 -5/10 ≤k≤5/10 (2) 円と直線が接するための必要十分条件は、 D=0であるから これを解いて k2+250=0 k=±5/10 [1] k5v10 のとき 接点のx座標は, ③の重解であるから すな [1] 直円程 れを解いて ③から x-x=0 x=0,1 x=0のとき y=-1, x=1のとき y=0 よって,円と直線②は異なる2点 10, (1, 0) で交わる。 (2) [x2+y^2=3 lx+y=√6 ②から ...... ③ x ② 2 y=-x+√6 が、 これを①に代入して 3/10 6k ④, 整理する 2 ゆえに (√2-√3) 20 2x2-2√6x+3=0 x=- 2.10 と 接点のy座標は 3/10 √10 したがって √√6 y=3x+k=30 +5/10= 2 2 2 x=- 自分 2 3/10 10 3 ③から √6 よって、 接点の座標は 2 2 x=- 2 のときy= √6 2) 2 [2] k=-5/10 のとき よっ よって, 円①と直線②は点 √√6 接点のx座標は、③の重解であるから [2]k 2 で 2 する。 (3) [x2+y2=2 ...... 6k 3/10 x= 2-10 2 接点の座標は y=3x+k=3. 3/10 2 √10 -- 5/10= [1], [2 2 よって、 接点の座標は 3/10 √10 k=5 2 2 [1][2]から k= 5/10 のとき 接点 3/10 /10 2 2 k5v10 のとき 接点 /3/10 10 195 (1) 2 2 [1] a [2x+3y=6 ②から (4) 2 ② y=-x+2 これに代入して - 1/2x+2=2 整理すると 13x2-24x+18=0 この2次方程式の判別式をDとすると =(-12)2-13-18=-90<0 ゆえに、 円 ① と直線②は共有点をもたない Jx2+y2+2x-4y= 0 lx+2y+2=0 ②から x=-2y-2 これを 1 に代入して ...... ① 340 ② ...... ③ (-2y-2)²+ y²+2(-2y-2)-4y=0 整理すると2=0 最大と ③から したがって y=0 y=0のとき x=-2 よって,円 ① と直線 ② は点 (2,0)で接する。 194 連立方程式 Jx2+y2=25 ly=3x+k ②①に代入して ...... ① ② において x²+(3x+ k)²=25 整理すると 10x2+6kx+k-250 この2枚程式の式をDとすると D (3k)2-10(k2-25)=-k²+250 接点のx座標を求める際に2次方程式 Qx2+bx+c=0 の重解がx=- を利用した。 y=3x+kから ② 整理す b であること このx 2a 3x-y+k=0 円の中心(0,0)と直線の距離をdとすると abd=- k また、円の半径は5 √32+(-1)2 k = 10 (1)円と直線が共有点をもつための必要十分条件 は,dS5であるから ゆえに すなわち \k\≤5/10 Ik ≤5 √10 -5/10 ≤k≤5/10 (2)円と直線が接するための必要十分条件は, d=5であるから ゆえに \k\ √10=5 \k\=5/10 よって, -k²- -k²- -k2- とき 別解y= 円の中心 また,円 [1] d<

波線部がmとなっていますが私は1だと思いました。係数を判別式に代入する、と記憶していました。 解説お願いします🙇🏻‍♀️

10 解と係数の関係 29 例題 29 解答 2次方程式の解の範囲 2次方程式 4x2-8mx+m=0 が 1より小さい異なる2つの解をも つとき, 定数mの値の範囲を求めよ。 この2次方程式の2つの解をα, βとし, 判別式をDとする。 2次方程式が条件を満たすのは,次の① ② が成り立つときである。 D>0 ①, (α-1)+(β-1)<0 かつ (α-1) (B-1)>0 ② D ここで 4 =(-4m)2-4.m=4m(4m-1) M ①から 4m(4m-1)>0 よって m<0.1/m ③ また,解と係数の関係により,a+β=2m, aβ= であるから m 4 (a-1)+(B-1)=(a+B)-2=2m-2, $303 m (α-1) (β-1)=αβ- (α+β)+1= -2m+1=-1/4m+1 7 4 ②から 2m-2<0 かつ-m+1>0 (C) よって m<1 ④かつ 0 4 4-7 81-4 m<. ⑤ ③ ④ ⑤ の共通範囲を求めて m< 0, 1<<m< 1/1/14 答 4 1 m

?のところの意味が全くわかんないです。(ii)はわかりました。

(3) 3次方程式 P(x) = 0 の異なる実数解が2個であるように, 定数a の値を定めよ。 → x^3+(a+1)x+α *P = =0

数学IIの円の接線の方程式の問題です。 写真のように、いろいろな方法で方程式を求めるのですが、どうしても⑵と⑶の解き方がわかりません。 わかる人教えて欲しいです。

【いろいろな方法で,円の接線の方程式を求めよう】 点(3,1)から,円 x 2 + y 2 = 2 に引いた接線の方程式について,次の問いに答えなさい。 (1)接点の座標を(x1,yi)として,この接線の座標を用いて接線の方程式を表し, 接線の方程式を求めなさい。 (2)円の中心から接線までの距離が、円の半径に等しいことを利用して, 接線の方程式を求めなさい。 (3)円と接線の方程式を連立させてできる2次方程式が重解をもつことを利用して, 接線の方程式を求めなさい。 (4)(1),(2),(3)の方法のよさについてまとめなさい。

この問題はなぜ共通な実数解をx＝aとするのですか？またなぜx＝aを代入した2式を引き算したときに出るaとmは題意を満たす可能性がある文字となるのですか？教えてください。

x²-17x+15:0 1842つの2次方程式 x2+(m+3)x +8= 0, x2 +5x+4m=0が共通な実数解をもつように定数m の値を定め、 その共通な解を求めよ。