-
68
2
重要 例題 43 虚数を係数とする2次方程式
000
の方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように
の値を定めよ。 また、 その実数解を求めよ。
CHART
解答
SOLUTION
2次方程式の解の判別
判別式は係数が実数のときに限る。 MOITULO
実物
D≧0 から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。
実数解をαとすると (1+i)ω2+(k+i)a+3+3ki = 0
基本
この左辺を a+bi (a, b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により
a=0, 6=0 ←α, kの連立方程式が得られる。
方程式の実数解をα とすると
(1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0
整理して (a2+ka+3)+(a2+α+3k)i=0
α,kは実数であるから, a2+ka+3,a2+α+3k も実数。
(k-1)a-3(k-1)=0
(k-1)(a-3)=0
よって
a2+ka+3=0
......
①
α2+α+3k=0
......
②
①② から
ゆえに
よって
k=1 または α=3
[1] k=1 のとき
!
なぜ
(S-)&+n)e=1-e-s
x=α
EXERCISES
A 33 次の2
を代入する。
◆a+bi = 0 の形に整
(1) 2
(3)
342 次の
(1)
(3)
35③ (1)
■この断り書きは重B 363
◆ 複素数の相等。
◆ α2 を消去。
infk を消去すると
α-22-9=0 が得られ
1037
①,② はともに2+α+3=0 となる。
因数定理 (p.83 基本事項
を利用すれば解くこと
きる。
c1 0>(S-
これを満たす実数 αは存在しないから,不適。
◆D=12-4・1・3=-11
03
[2] α=3 のとき
① ② はともに 12+3k=0 となる。
ゆえに k=-4
>0
①:32+3k+3=0
103
②:32+3+3k=0
[1], [2] から, 求めるんの値は
実数解は
k=-4
0>
x=3
INFORMATION
2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる
のはa,b,c が実数のときに限る。
例えば, a=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式
ix²+x=0の解
■はx=0, iであり,異なる2つの実数解をもたない (p.81 補足参照)。
H