Question

らむ

どうして、方程式が実数解を持つようなkの値を求めるために、複素数の相等という解法を用いるのですか？

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2
重要 例題 43 虚数を係数とする2次方程式
000
の方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように
の値を定めよ。 また、 その実数解を求めよ。
CHART
解答
SOLUTION
2次方程式の解の判別
判別式は係数が実数のときに限る。 MOITULO
実物
D≧0 から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。
実数解をαとすると (1+i)ω2+(k+i)a+3+3ki = 0
基本
この左辺を a+bi (a, b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により
a=0, 6=0 ←α, kの連立方程式が得られる。
方程式の実数解をα とすると
(1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0
整理して (a2+ka+3)+(a2+α+3k)i=0
α,kは実数であるから, a2+ka+3,a2+α+3k も実数。
(k-1)a-3(k-1)=0
(k-1)(a-3)=0
よって
a2+ka+3=0
......
①
α2+α+3k=0
......
②
①② から
ゆえに
よって
k=1 または α=3
[1] k=1 のとき
!
なぜ
(S-)&+n)e=1-e-s
x=α
EXERCISES
A 33 次の2
を代入する。
◆a+bi = 0 の形に整
(1) 2
(3)
342 次の
(1)
(3)
35③ (1)
■この断り書きは重B 363
◆ 複素数の相等。
◆ α2 を消去。
infk を消去すると
α-22-9=0 が得られ
1037
①,② はともに2+α+3=0 となる。
因数定理 (p.83 基本事項
を利用すれば解くこと
きる。
c1 0>(S-
これを満たす実数 αは存在しないから,不適。
◆D=12-4・1・3=-11
03
[2] α=3 のとき
① ② はともに 12+3k=0 となる。
ゆえに k=-4
>0
①:32+3k+3=0
103
②:32+3+3k=0
[1], [2] から, 求めるんの値は
実数解は
k=-4
0>
x=3
INFORMATION
2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる
のはa,b,c が実数のときに限る。
例えば, a=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式
ix²+x=0の解
■はx=0, iであり,異なる2つの実数解をもたない (p.81 補足参照)。
H

Answer 1

GDO

複素数の相等を用いる理由はいくつかあります
　理由その➀：複素数の方程式a+bi=0 は、a=0、b=0（複素数の相等）で解くのが高校数学の基本だから
　理由その②：簡単に解けるから（以下のように計算すると難しい）
　理由その③：係数が複素数なので判別式でD＞０が使えないから
　（複素数は正負の概念がありませんし、この問題の場合、判別式の中の虚数項＝０を満たすkをみつけても実数解になりません）
　理由その④：判別式でD＞０が使えないなら、複素数解を求め、実数になるようにｋを定めるのは、
　かなり難易度が高いから（この問題の場合、解析的に解くことはとても困難）
　実際に複素数解をを求めて、k=－4を代入すると、x=3が出ますが、
　ｘ=(1 ー i)/4・[4 ー i ± C^(1/4){cos(θ/2)+sin(θ/2)}]
　　　C=√{(10k+12)²+(k²+12k-13)²}
　　　tanθ=(10k+12)/(k²+12k-13)

複素数解を求めて、虚数部分＝０の条件を満たすｋを求めるより、
最初の関数の状態で、虚数部分＝０の条件を満たすｋを求める方が、手っ取り早いです。

ということで、理由はその➀と考えてください。

GDO

理由その➀は少し語弊があるので、以下のように読み替えてください。
「a,bが実数のとき、複素数の方程式a+bi=0 であるなら、必ずa=0、b=0（複素数の相等）であるので、
　これを用いると簡単に解けるし、高校数学の基本だから」