Question

☆彡.。‎𖤐 ̖́-‬𓆩⋆𓆪‬

⑶
時間を求めるために、周期を使うことなんて思いつきません。答えを見ても、イマイチ理解できてないです。
他に解き方ってないんですか？💦

必解 52. 2本のばねによる単振動〉
A
B
mmm mmm
0
図のように, なめらかな水平面上に質量mの物体Pが同
じばね定数をもった2つのばね A, B とばねが自然の長さ
にある状態でつながっている。 水平面上右向きにx軸をとり,
このときの物体Pの位置をx座標の原点とする。 物体PをばねAのほうへ原点Oよりαだ
けずらしてからはなす。 このとき物体Pは単振動する。 単振動は等速円運動のx軸上への正
射影の運動であるといえる。 時刻 t=0 において, 物体Pはちょうどx座標の原点Oを正の
向きに向かって通過した。 ばねの質量はないものとして. 次の問いに答えよ。
(1) 時刻 t における物体Pの位置xおよび速度vを,等速円運動の角速度 を用いて表せ。
(2)時刻 t において物体Pが位置xにあるときの加速度αを, wとxを用いて表せ。また,2
つのばねAとBから受ける力Fを, kとx を用いて表せ。
(3) 物体Pがx=α に達してから, 初めて原点0を通過するまでの時間 to と, 初めて
x=123 を通過するまでの時間を,kmを用いて表せ。
(4) 物体Pの運動エネルギーKの最大値とそのときの位置, およびばねの弾性力による物体
Pの位置エネルギーUの最大値とそのときの位置を表せ。 ただし, ω やTを用いないこと
(5) 物体Pが単振動しているときの速度と位置xの関係を求め, vを縦軸に, xを横軸にと
ってグラフに示せ。 このとき座標軸との交点を, a, kおよびm を用いて表せ。 また, 物
体Pが時間とともに図上をたどる向きを矢印で表せ。
[ 香川大改〕

ヒント 52 2本のばねによる単振動〉
(1) t=0 のとき原点を正の向きに通過 このとき, 位置xは0, 速度は最大となる
(4) 変位 0 のとき速さは最大 変位が最大 (もしくは最小)のとき速さは0となる。
(3) 時間を求めるときは単振動の周期でを用いる。また、円運動にもどって考えるとよい。
(5) 力学的エネルギー保存則より、「運動エネルギーK+弾性力による位置エネルギーU=一定」となる。
(1)単振動の変位と速度を表す式は、振幅を A, 初期位相を。 とすると
x=Asin (wt+0)
v=Awcos(wt+0)
振幅はαであり, t=0 のとき x=0 であるから
※A別解 x-t図をかき
関数を求めることもできる。
この運動のx-t図は
XA
a
0= A sin 00
よって sinbo=0 より=0
① 0
これより x=asinwt A
②
-a
v=aw cos wt*A+B+
(2)単振動する物体Pの加速度αは a=aw'sinwt B
①式を用いて整理すると α=wx
kx
kx
・③
また,物体Pの変位がxのとき,物体Pが受ける 000000000
力は図aより
m
mm
+sin 型となるので
x=asinwt
同様に, v-t図は
VA
x
0
x
aw
F=-kx+(-kx)=-2kxC
図 a
0
(3)④式と,単振動の周期の式 「T=2π~
m で K = 2k だから, 周期Tは
-aw
K
+cos 型での最大値は aw
m
T=2nv 2k
2m
k
であるので
v=aw coswt
to=
単振動は円運動の正射影であるから, 物体Pがx=a
に達してから初めて原点を通過するまでの時間 to は
90°
2m
360°
←B 別解 x=asinwt を
60°
tで微分して
dx
v=
=aw coswt
dt
01
ax
また,v=awcoswt を tで微
また、初めてx=1/24 を通過するまでの時間は
図 b2a
分して
dv
t₁=-
60°
360°
Q=
T=T*D*
π
2m
←=
6Vk
4) 単振動において物体の速さが最大になるのは,振動中心 (x=0) である。
このときの物体Pの速さは, ②式より
v=aw
よって Kx=1/2m2=1/12m(aw)2=1/12mad (277) 2 = 1/12ma
2k
-ma². =ka2
m
また、振幅が最大である x=±α のとき, 弾性力による位置エネルギーが最
大となる。よって U最大=2×1kd=ka E
大となる。よってUx=2x1/12ka2=
Y
5) 単振動しているとき力学的エネルギーは保存されるので, ある時
1
1
刻tにおいて, 変位 x, 速度vとすると2×=kx2+1m²=ka
dt
-aw'sin wt
C 合成ばねのばね定数
は2kとなる。
い。
※D = 1/2Tではな
←E 別解 力学的エネルギ
ーが保存されているので
U最大=K最大=ka²
/2k
v

Answer 1

GDO

他の方法はありますが、高校生の学習範囲ではありません（２階微分方程式の解…最後に概略説明あり）。
また、”周期がありそうだ（行ったり来たりする）”ということを思いつかないと解けない問題です。

この問題の場合は、「等速円運動をx軸方向から見た（正射影した）ときの運動として考えてください」
と書いてあるので、円運動の周期を思いつかせるように誘導している問題になってます。

◆ばねの運動方程式（２階微分方程式）を解く）
運動方程式：ma=－kx(このaは加速度の意味)　⇒　𝑑²x／𝑑t²=－k/m・x（２階微分方程式）
条件：x(0)=0[t=0のときの位置]、xの最大と最小=a、-a
これを解いていくと、x(t)=a sin{√(k/m)/2π・t}が求まります。

高校生の学習範囲では、加速度aと位置xの関係がa=－Ax の関係にあるとき、
時間を求める場合は、円運動の周期を使うことが基本になります。
浮力でも同様に周期を使う問題はあります。