例題 83
条件なし2変数関数
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実数x, y について, z=x²-2xy+2y2-4x+2y+8 の最小値と,その
ときのx,yの値を求めよ.
考え方 次のような順で解く.
EX
① x, y は互いに関係なく変化するので、まずxの2次式とみて与えられた式を
α(x-■)+▲の形に変形する.
②残ったの部分(yの2次式)も6(y)+△の形に変形する.
③ α(x-■)2+b(y-口)+△(a>0.6>0. △は定数) は (x-■≧0, (y-口)2≧
であるから,x-■=y-□=0のとき最小値△をとることを利用する.
解答 z=x²-2xy+2y2-4x+2y+8
=x22(y+2)x+2y2+2y+8
={x2-2(y+2)x+(y+2)-(y+2)}+2y2+2y+8+2y2+2y+8
={x-(y+2)}-(y+2)2+2y2+2y+8
={x-(y+2)}+j2-2y+4
+y+2=A とおくと,
(x2-2Ax+A'-A)
=(x-A)-A2
+2y2+2y+8
=(x-y-2)2+(y-1)+3
ここで, (x-y-2)2≧0 (y+1)10より、
z=(x-y-2)2+(y-1)2+3≧
とる.
Duny
よって, 求める最小値は,
となるから, x-y-2=0, y-1=0 のとき, 最小値3を
y2-2y+4 も平方完成
する。
αが実数のとき
a2≧0 であり、 等号が
成り立つのは α=0 の
ときである.
78-
どこから?
3(x=3, y=1のとき)
