logo30.4771 とする。
(1) 3" が 10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。
(②2) 3進法で表すと100桁の自然数Nを10進法で表すと何桁の数になるか
基本18
指針 (1) まず, 3" が 10桁の数であるということを不等式で表す。
3ケタ (2)
100 a povo
10'SNS 10°
進数Nの桁数の問題 不等式2桁-1≦N <k血数の形に表す
10進法で表したときの桁数を求めるには,不等式①から, 10″ 'N <10” の形を導き
に従って、問題の条件を不等式で表すと
たい。 そこで, 不等式 ① の各辺の常用対数をとる。
(1) 3" が 10桁の数であるとき
各辺の常用対数をとると
ゆえに
・・・・・・改訂版チャート式基礎からの数学A 基本例題 142 参照。
3100-1≤N<3100......
9≤0.4771n<10
9
20.4771
{n<
10% 3" <10¹0
9≤nlogio3<10
10
10.4771
よって
したがって
18.8≦x< 20.9••••••
この不等式を満たす最小の自然数nは
n=19
(2) Nは3進法で表すと 100桁の自然数であるから
300SN <
すなわち 399 ≦N <3100
各辺の常用対数をとると
9910g10310g10N <10010g 103
99×0.4771 log10N <100×0.4771
ゆえに
すなわち 47.2329 Mlog10 N <47.71
よって 1047.2329 ≦N < 1047.71
ゆえに 107 <N1048
したがって, Nを10進法で表すと, 48桁の数となる。
別解 10g10 3=0.4771 から 100.4771=3
ゆえに,398 N <3100 から (100.4771) 99 ≤N<(100.4771) 100
よって [047.2329≦] < 1047.71
ゆえに
107 <N<1048
したがって, Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。
Nがn桁の整数
→10"-¹N<10"
この不等式を満たす自然
は,n=19, 20 であるが
「最小の」という条件が
るので, n=19が解。
p=log. Ma'=M
議できる大きな数に
変換している