(4)の考え方がよく分からないです💦 教えてください🙇‍♀️

例題112 無限級数の収束・発散(2) 次の無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ.た I+)(1+1+y) だし, (2)は無限等比級数である. n 2 3 4 (1) 1+ + + + 13 5 7 (2)(√3-1)+(4-2√3)+(6√3-10) +...... 3 4 4 (4)) 2-2 + 2-3 + 3) ... m→∞ An (5n+1n+2 n 3 2 + 解答 (1) 1+- 3 n+1 Olb +(3+) + *=21+1. 考え方 (1) 一般項をam とするとき, liman=0 ならば, 無限級数 am Σan 4 + + 5 7 + ならば lim Sn は発散する. n→∞ は発散する。 n=1 (2) 公比rの無限等比級数が収束する条件は, (初項)=0 または-1<r<1である。 n→∞ 8 8 (3) 無限級数 Σan, Σón が収束するとき, Σ(kan+b)=a+lon n=1 n=1 1-I+ay= ・+･･・ 8 +1 000 3 2 (3) 2 2n 3n n=1 n=1 Ita である(ただし, k, l は定数). (4) lim S2m-1≠lim S2m (n=2m-1のときと n=2mのときで極限値が異なる) STR m→∞ 東 8 8 n=1 8 || n=1

(2)と(4)の部分分数分解(?)のやり方がわからないです。マーカー部分の解説お願いします。

{an} が成 A 問題 191 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。 *(1) 204 *(2) *(3) 1 2･5 (4) 1 1.4 1 + + 5.8 1 1 + + + 2.5 3.6 1 1+√5 + √2-1 √1.2 1 8・11 + +………:+･ 1 √5 +√9 + + + 1 (3n-1)(3n+2) 1 n(n+3) 1 √9+√13 +.... + + √3-√2 √√4-√3 √2.3 √n+1-√√n √n(n+1) √3.4 192 次のような無限等比級数の収束 発散を調べ、 収束するときはその和を求め + +......+ 891 教p.105 例題 3,4 1 '4n-3+√4n+1 ·+…..... +…...

解説の青線部分で何故不等号が逆になっているのですか？ 教えて頂けると嬉しいです

*213 初項1,公比 1/12 の無限等比級数の和Sと,初項から第n項までの部分和 S” と 1 1000 の差が、 初めて より小さくなるようなnの値を求めよ。

1行目から2行目にいける理由がわかりません！

51 第n 部分和を Sn とする. (1) Sn = 58 n log2 k k + 1 = n Σ{log₂ k − log₂ (k + 1)} k=1 k=1 = -log₂ (n + 1) (与式) = lim Sn=-∞ 発散 818 log₂ 1 = 0

①についてです。なぜ絶対値が付いているのでしょうか？ また、絶対値がつくとどのような意味になるのでしょうか。 ②も同様絶対値がついている理由が知りたいです。 ③ですがなぜ、自然数なのでしょうか。負も含めると考えてしまいました。 ④の変形がわかりません。 ⑤について、なぜ、＝... 続きを読む

1 1 16 無限等比級数 1+ = =+ = =+ = ²/3 ･+･･････ について, 次のものを求めよ。 十 5 52 53 (2) 和 S より小さくなるnの値 (1) 第n項までの部分和 S n (3) S と S との差が初めて 1 10000 17 平面上で,点Pが原点Oを出発してx軸の正の向き に1だけ進み、次にy軸の正の向きに 1/23だけ進み, 次にx軸の負の向きに 1/22 だけ進み,次にy軸の負の 2² 1/2 22、 6

①についてです。なぜ絶対値が付いているのでしょうか？ また、絶対値がつくとどのような意味になるのでしょうか。 ②も同様絶対値がついている理由が知りたいです。 ③ですがなぜ、自然数なのでしょうか。負も含めると考えてしまいました。 ④の変形がわかりません。 ⑤について、なぜ、＝... 続きを読む

1 1 16 無限等比級数 1+ = =+ = =+ = ²/3 ･+･･････ について, 次のものを求めよ。 十 5 52 53 (2) 和 S より小さくなるnの値 (1) 第n項までの部分和 S n (3) S と S との差が初めて 1 10000 17 平面上で,点Pが原点Oを出発してx軸の正の向き に1だけ進み、次にy軸の正の向きに 1/23だけ進み, 次にx軸の負の向きに 1/22 だけ進み,次にy軸の負の 2² 1/2 22、 6

(1)の解説の5行目以降が全然分からないので教えてほしいです！

214 00000 重要 例題 128 複素数の累乗に関する無限級数 zを複素数とする。 自然数nに対し, 2” の実部と虚部をそれぞれxn とynとして、 2つの数列{x}, {y} を考える。 つまり, z" = xn+iyn (i は虚数単位) を満たして いる。 (1) 複素数zが,正の実数と実数0を用いて z=r(cos0+isine) の形で与え られたとき,数列{x},{y} がともに0に収束するための必要十分条件を求め よ。 1+3iのとき, 無限級数xとyはともに収束し,それぞれの和 10 n=1 (2) z=- はΣxn= n=1 指針 (1) まず, z=r(cos0+isine) の両辺をn乗した式に注目して, xn, yn をそれぞれn, r 0 で表す。 そして, xn2+ym² を計算するとの形になるから,数列{x},{yn} がともに 必要条件 0 に収束するとき, 数列{x^²+y^²} が0に収束するための条件を求める。 無限級数 部分和の収束・発散を調べる (2) 2 k まず,初項z,公比zの等比数列{z}の部分和 ②2 を求める。そして、 k=1 y=1である。 n=1 ②2=2xn+iye が成り立つことから,部分和之x, y が求められる。 J=1\ k=1 k=1 部分和の極限を調べる際は, (1) の結果も利用する。 解答 (1) z=r(coso+isin0) [r>0] のとき z"=r" (cosno+isinn0)=r” cos n0+ir "sinno よって ゆえに limxn=limyn=0のとき 12400 7248 Yk xn=r"cosno, yn=r"sinno x² + y²=(r) ² (cos² no+sin² n0) = (²)″ 330 lim(x₂²+y₂²)=0.00 (2) 2=1+√ i 10 k=1 のとき よって 0≤r² <1 > 0 であるから 0<r<1 (*) 逆に, 0<r<1のとき, -1≦cosn0 ≦1であるから -r≤r" cos no ≤r" 0<r<1であるから limr"=0, lim(-r") = 0 よって limr"cosno=0 780 -1≦sinn0≦1から,同様にして limr"sinn0=0 ◄-r≤r sin ne≤r" ゆえに、0<r<1のとき, 数列{x},{y} はともに0に収束する。 limx=0,limy=0 以上から 求める必要十分条件は 0<r<1 700 基本 118,119 00 _2(1-22-12 (1-(xn+iya)} z(1-z") ド・モアブルの定理。 ◄z"=xn+iyn +=c +5 無限等比数列が 0 に収 束する条件は -1< (公比) <1 (*) ここから, 十分条 件であることの確認。 はさみうちの原理。 初項z,公比zの等比 数列の初項から第n項 POAT までの和。

部分和Sn=Σ(n=1→10)1/n!のとき、 極限値lim(n→∞)Snを求めよ。と言う問題なのですが、わかりません💦 得意な方お願いします🤲

一枚目の画像の(2)より、掛け算の前後を変えてしまったため私の解答だと-∞という答えがでます。 しかし、解答だと∞と出されています。 この場合、-∞でも正解にはなりますか？

200 基本例題 116 無限級数の収束、発散 次の無限級数の収束 発散について調べ, 収束すればその和を求めよ。 1 1 (2) √1+√3 √3+√5 ∞ (1) Σ 1 n=1 (2n+1)(2n+3) Sn= 1 基本事項 指針▷ 無限級数の収束、発散 は 部分和 S, の収束,発散を調べることが基本。 Zan が発散⇔ {S} が発散 8 Zanが収束⇔ が収束 {Sn} n=1 解答 第n項 an までの部分和をSとする。 1 (1) an= □ よって amilTun |_n=1 (1) 各項の分子は一定で, 分母は積の形→各項を差の形に変形(部分分数分解)する ことで,部分和 Sn を求められる。 (2) 各項は √√n+√√n+2 CHART 無限級数の収束 発散 まずは部分和S” の収束・発散を調べる /1 1 = = 1/² ( ²3² - 27²+3) 2 であるから = 12 (分数式) のときは, 部分 (2n+1)(2n+3) 22n+1 2n+3 ) であるから 分数分解によって部分和を 1/11(1/1/8-1)+(-1)+(277-273) 求めることが有効。 なお, α=bのとき lim S=1/12/11/13-0)=1/10 n→∞ + LATRONE の形→ 分母の有理化によって各項を差の形に変形する。 よって ゆえに,この無限級数は収束して、その和は1/3である。 √n+2=√n (2) an= √n+√n+2 (n+2)-n 1 √2+√4 limSn=∞ 2n = 1 Sn={(√3-√ī) + (√4-√2 ) +….... n→∞0 ゆえに、この無限級数は発散する。 = 1/2 (√2+1+√n +2 -1 -√2) 1 // (√n+ 2 = √n) 2 2 麦わらないと+ (n+1-√n-1)+(√n+2-\)} + 1 (n+a)(n+b) = ·+... 1 ( b-a\n+a n+b 12400 1 分母・分子に 1lim√n+1=∞, n +2√を掛ける。 消し合う項・残る項に注意。

至急です。この問題が分かりません。式と答えを教えて欲しいです。シグマ、等比数列の応用の範囲です

問題1 次の値を求めよ。 5 100 (1) Σ3k, (2) Σ(3k+4), (3) Σ(-2k-3), (4) Σ(3k+4) k=1 k=1 10 ● 数列 等比数列の応用編- 問題2次のような等比数列{an}がある。 k=1 10 4 { ¹, ½, (²) ² (²) ³ (!) * · · · · } k=4 (1) この数列の第n 部分和 Sn を表せ。 (2) 和の項数n が限りなく大きくなっていったらこの和はどんな値に近ずくか考えよ。 問題3 背の高さがはじめ1 [m]の木がある。 この木は翌年には1/28 [m] 伸びて、そのまた翌年 には 21 [m] 伸びるという具合に、伸びる長さが前年の半分になっているとする。この木はい くら成長しても2 [m] を超えないことを示せ。 問題2の結果をヒントにせよ。