回転
36 xy 平面上の2次曲線を
9x2+2√3xy+7y2 = 60
とする.このとき,次の各問いに答えよ.
215-36
と曲線 C は、原点の周りに角度0(001)だけ回転すると,
ax2+by2 = 1
の形になる.0 と定数a, b の値を求めよ.
(2) 曲線C上の点と点 (c, -√3c) との距離の最小値が2であると
き,c の値を求めよ.ただし, c0 とする.
アプローチ
〔神戸大〕
(イ)曲線を回転させようと考えるのではありません。曲線上の点を回転さ
せて回転後の点の軌跡を求める感覚です. そこで曲線 C上の点を (x, y),
これを回転した点を (X, Y) とし,x,yの関係式から x, y を消去して,
X, Y の満たすべき関係式を求めると考えます.つまり x, y を X, Y で表
してC の式に代入するというストーリーです。そのためには
(X, Y) = 「(x, y) を 0 回転した点」
という関係式ではなく
(x, y) = 「(X, Y) を -0 回転した点」
という関係式を立式しましょう。これをC の式に代入したら出来上がり
です.
(口)点(x, y) を原点を中心に角 0 だけ回転した点を (X, Y) とすると,
X + Yi = (cos 0 +isin0)(x + yi)
です.実部と虚部を比較すると
となります.
X = x cos 0 - y sin 0, Y = xsin0 + y cos 0
(2)では曲線 C 上の点と (c, -√3c)との距離を考えるのではなく,とも
に回転させた曲線と点との距離を考えます.