Question

みみ

写真2枚目のz2n＋1-z2nとその下の式についでなのですが、1つ差だと回転角も異なるのでi/4倍の数列が成立しなくなると思ったのですがなぜこのような式が成り立つのか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

15 I 複素数平面において, 原点から実軸上を正の向きに1だけ進ん
だ点を P1 とする.原点からP, まで進んだ方向より正の向きに方
向を変え, P1 から 1/12 だけ進んだ点を P2 とする. P, から P2 まで進
27
んだ方向より正の向きに方向を変え, P2 から 1/1 だけ進んだ点を
P3 とする。以下同様に,進む長さを半分ずつにし、と交互に
方向を変えていくと, P, は複素数
に近づく。
10〔上智大]

PnPn+1
1回転
Pn+1Pn+2
回転
→Pn+2P+3
回転
(n が奇数のときが矢印の上、偶数のときが矢印の下)だから,P,Pn+1 を
11
22
1
4
-倍し、向きを匹
だけ変えたものがP+2P+3と
3
なり, n≧0について
6
Zn+3Zn+2=
(Zn+1 - Zn)
これから
Zn+3
i
4
Zn+1=Zn+2 -
Zn
b
4
となるので,{n+2-1/12n}が定数列 (公差 0 の等差数列)となり
4
i
Zn+2
-
Zn = Z2 ・Zo=Z2
4
ここで
2=(Z2-Z1) + z =
(co
COS +i sin
77 ) + 1 = 3/1 +
5
+4
・i
z2
いまα - α = となるαを考えると α = 22
Z2
であり, から
i
4
= 1
(Z2n - α)
したがって
Z2n -α=
ここで
Z2
Zn+2 - α = -(Zn - α) ... Z2n+2-α =
4
n
=(4)" (zo-α) = −(4)" α
|a|
|22m-a|=|(4)^q|=
= |(4)" α = lα | → 0
4n
a
(n→ ∞0)
2n
P2+1→0(n→∞) となり, P2n+1 も同じ点Aに近づく. 以上から P
P2P2n+1
近づく点はAであり,これを表す複素数は
だからP2n は α で表される点 A に近づく. また PnPn+1=だから
Q=
5+√√31
(5 + √3i)(4+i)
20 -√3+5 +4√3
-i ☐
=
17
4-i
17
17
強化式での変形をして解きました。ほかにも③から
ここではを3項間の漸化式でよくやる変形のマネをして⑥を導き,さら

236-38
Z2n+1-Zon
==
n
(14)(21-20)=(1/2)"
=
n
22n+2-Zant1=(4)" (ニュース)-(4)^(1/3+塗
として,これらから Z2n+2-Z2n (等比数列) がわかるので,この和からz2n
を求める方法もあります.このときは,複素数列の無限等比級数の和を求め
ることになりますが、 公式は実数のときとまったく同じです((初項) = 0 ま
たは(公比)<1のときに収束次の例II).
©のところで2項間漸化式の解法を用いましたが, 複素数の場合は図形的
な意味が出てきます.
Zn+1= pin+g (p = 1)
で複素数列{zn} が定まっているとします. このとき
q
a = pa+q
.. a =
1-P
となるαを考えると
Zn+1 - α = p(n-α)
だから,さらに極形式で p=r(cos0 +isine) と表し, Pn(zn) (n≧1),
A(α) とおけば
となります。
AP を角0 だけ回転し, r倍したものが AP+1
複素数の無限等比級数の和の練習です。