Question

みみ

解答の場合分けがこのようになっている理由がわからないです。なぜ1で分けているのか教えて頂きたいです。

回転
36 xy 平面上の2次曲線を
9x2+2√3xy+7y2 = 60
とする.このとき,次の各問いに答えよ.
215-36
と曲線 C は、原点の周りに角度0(001)だけ回転すると,
ax2+by2 = 1
の形になる.0 と定数a, b の値を求めよ.
(2) 曲線C上の点と点 (c, -√3c) との距離の最小値が2であると
き,c の値を求めよ.ただし, c0 とする.
アプローチ
〔神戸大〕
(イ)曲線を回転させようと考えるのではありません。曲線上の点を回転さ
せて回転後の点の軌跡を求める感覚です. そこで曲線 C上の点を (x, y),
これを回転した点を (X, Y) とし,x,yの関係式から x, y を消去して,
X, Y の満たすべき関係式を求めると考えます.つまり x, y を X, Y で表
してC の式に代入するというストーリーです。そのためには
(X, Y) = 「(x, y) を 0 回転した点」
という関係式ではなく
(x, y) = 「(X, Y) を -0 回転した点」
という関係式を立式しましょう。これをC の式に代入したら出来上がり
です.
(口)点(x, y) を原点を中心に角 0 だけ回転した点を (X, Y) とすると,
X + Yi = (cos 0 +isin0)(x + yi)
です.実部と虚部を比較すると
となります.
X = x cos 0 - y sin 0, Y = xsin0 + y cos 0
(2)では曲線 C 上の点と (c, -√3c)との距離を考えるのではなく,とも
に回転させた曲線と点との距離を考えます.

216-36
解答
(1) 曲線 C 上の点を (x, y), これを原点のまわりにだけ回転した点を
(X, Y) とする. 複素数平面で考えると
x + yi = {cos(−0) + i sin(−0)} (X + Yi) = (cos - i sin 0) (X + Yi)
右辺を展開し、両辺の実部と虚部を比較して
=
= X cos0 + Y sin b, & = -X sin 0 + Y cos A
これらをCの方程式に代入すると
9(X cos0 + Y sin 0)2 + 2√3 (X cos0 + Y sin 0)(-X sin0 + Y cos e)
+ 7(-X sin0 + Y cos 0) = 60....
・①
上式を整理したときの XY の係数は
4 sin 0 cos0 + 2√3 (cos20 - sin20)
②
であり, ① がaX2 + by2 = 1 の形になる条件は ② = 0だから
4 sin 0 cos 0 + 2√3 (cos20 - sin' 0) = 0
.(*)
✓3
⇔
2
← 2sin 20 + 2√3cos 20 = 0
→1/2sin20+ cos 200 sin (20+
・(*)
(20+ 1/3) = 0
πT
JT
≤20+
πT
-πより20+
3
3
つまり1であり,これを①
に代入して
-6
(1/2x+2/28)2+2v3(2x+r)(1/2x+/1/28)
9(2x+2)+25(
+71×2-2x+1)=60
- 82
これを整理すると
6X2 + 10Y2 = 60
よって
X+
✓3
-X +
b
+(-)
82
Y2
+
=1
10
6
=60
18
E
4√3
a=
= 11, b = 11
(2) P(c, -√3c) とし, 曲線 C 上の点を Q とする.これらを原点のまわり
にだけ回転した点をそれぞれP', Q' とする.
3

C
217-36
P (C₁ = √BC)
OP=2c であり,OP の偏角が だから, P' の座標は (2c, 0) である.
Q'は③上の点だから(√10 cos 0, √6 sin 0) とおける.
PQ2 = P'Q'2 = (√10cos0 – 2c)2 + (√6sin9)2
= 10 cos20-4√10ccos0 +4c2+6(1 - cos20)
=4cos20-4√10ccos0 +4c2+6
=4(cose-
√10
+6-6c2
2
cosであり, c >0であるから
√10
c≦1つまり0 <c≦
66c2 だから
・④ のとき,PQ2の最小値は
√10
忘れずに
6 – 6c2 = 22
=
C =
3
1
√3
(これは④を満たす)
√10
2
-c > 1 つまりc>
･･･ ⑤ のとき,PQ2の最小値は
2
√10
COS0=1のときで 4c2-4√10c + 10 となるから,
4c2 - 4/10c + 10 = 22
...2c2-2√10c + 3 = 0
C =
√10±2
2
このうち⑤を満たすものは
√10+2
C=
2
以上より
2+√10
c=
√3
2
フォローアップ
1. ) は sin, cos の2次式なので,
cos20 =
1 + cos 20
sin20 =
1 - cos 20
sin 20
sin Acos0 =
2
2
2