数2の微分です。 解説の（2）の5行目の、因数分解？をしているところなんですけど、f'（γ）はどのように変形すれば良いのでしょうか？因数分解するまでの流れを教えていただきたいです。

●7 実数解の個数/定数項以外に文字定数- 関数f(x) = ar(a+3)x+a+3について,次の問いに答えよ.ただし,αは0でない実数とす (1) f(x) の導関数をf(x) とする。 æの方程式f'(x)=0が実数解をもつようなaの範囲を め,またそのときの実数解をすべて求めよ. (2) の方程式f(x)=0が3個の異なる実数解をもつようなαの範囲を求めよ。 (宮城教 f(α) f(β) の正負で解の個数がわかる 3次関数y=f(x) が, x=α, βで極値を持つとき, f(a)f(B)が,正, 0, 負のどれであるかによって, f(x)=0･･････① の解の個数が分かる. (i) f(a)f(B) <0⇔f(α) とf (B)は異符号 〔f (α) f (B) <0なら,α=B] (i) f(α)f(β)=0⇔f(α)= 0またはf(β)= 0 (i) f(α)f(B)>0⇔f(α) f (B)は同符号 であることに注意すれば, (i) ~ (Ⅲ)のグラフは, (f(x)のxの係数が正とする) (i) (ii) (iii) NiNNINIA B 120 a B となる. 実数解の個数は, グラフとx軸の共有点の個数なので、 ①の実数解は, (i) のとき3個 (i) のとき2個 (i) のとき1個 ■解答量 (1) f'(x)=3a²²-(a+3) であり, a=0, f'(x)=0より, 右辺が非負のとき, x=± a +3 3a (=±y) とおく. x² = 9+3 3a a +3 -0. この左辺は, 4=0, -3の前後で符号変化し, a≦-3, 0<a ...... ① 3a (2) ① が成り立たなければならないから, 以下①の下で考える. f(x)=0が3個の異なる実数解を持つ f(r)f(-x)<0 f(x)をf(x)で割ると、商 1/23/2/3 (a+3)x+a+3となるので --x, ƒ(x)= xƒ'(x)=²(a+3)x+a+3. CHKx=y&HALT, f(x)=1/17f(x) 1/12 (a+3)y+a+3= (-/2/2y+1)(a+3) 同様にして、バー) (12y+1)(a+3) s(r)s(-x) = (-3²3r+1)(²3r+1)(a+3)²=(1-1/y²)(a+3)² a=-3のときf(x) f(-y) =0で不適であり, (a+3)^>0 に注意すると, f(y) f(-y) < 0 ⇒1-²01-2 4 a +3 9 3a 10⇒ 23a-12 27a -<00<a< 12 23 f 2018 左辺は, a>0のとき正なので 0>α>-3のときは負, -3> のときは正となる. -3 0 07 演習題(解答は p.127) a は実数とする. 3次方程式x+3a²+3ax+α=0の異なる実数解の個数は,定数a の値によってどのように変わるかを調べよ. (横浜市大理系) f(x)f(-x)<0ならば, yキーなので, x=y, -vで 値を持つ . p.14 で紹介した「次数下げ」 f'(x)=0 B 1 0 12 23 極値の積の正負を調べ る. 4340 a fcr f

微分です （3）なんですけど、極値を持たない条件は分かってますし、必要十分条件の意味も分かっている上で質問させていただきます。 必要十分条件となるとわざわざそう書いてあるからには何かあるのではないかと思ったのですが解答を見ると全然特に何も変わったことをしてなかったので色々調... 続きを読む

3次関数が極値をもつ条件、もたない条件 207 日本 例題 関数f(x)=x2+ax² が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。 関数f(x)=x2-6x2 +6ax が極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲 を求めよ。 関数f(x)=x3+ax²+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。 ただし、aは定数とする。 3次関数f(x) が極値をもつ f(x) の符号が変わる点がある f(x)=0 が 異なる2つの実数解をもつ =f'(x)=0 の判別式 D> 0 と D>0 ゆえに, α²0 から | f(x)=3x2+2ax f(x)が極値をもつための条件は, f'(x)=0 が異なる2つの実 数解をもつことである。 3x2+2ax=0 の判別式をDとする =a²-3.0=a² ここで D D 4 a=0 f'(x)=3x²-12x+6a=3(x²-4x+2a) +(86)+(1 f(x) が極大値と極小値をもつための条件は、 f'(x)=0 が異 なる2つの実数解をもつことである。 よって、x2-4x+2a=0の判別式をDとすると D |=(-2)^-1・2a=4-2aから, 4-2a>0より ゆえに (a+√3)(a-√3) 4 f(x)=3x2+2ax+1 x)が極値をもたないための必要十分条件は,f'(x) の符号 変わらないことである。ゆえに、f(x)=0 すなわち 3x+2x+1=0 実数解をもたない。 よって、①の判別式をDとすると x=α D≦0 Jare 極大 y=f(x) ① は実数解を1つだけもつかまたは (*) =a²_3.1=(a+√3)(a-√3) ≤0 ...... D>0 a <2 基本 201,206 重要 210 よって -√3≦a≦√3 (の係数)>0のとき x=B 極小 HIMOLTE 3次関数が極値をもつとき, 極大値と極小値を1つずつ もつ。 x(3x+2a)=0から 2 x=0, -a よって a≠0 としてもよい。 (3) D=0 D<0 y=f'(x) y=f'(x) / y=f'(x) / + (*) D<0 は誤り。 x x (1) 関数f(x)=4x²-3(2a+1)x2 +6ax が極大値と極小値をもつとき,定数αが 満たすべき条件を求めよ。 [類 工学院大] 値をもつような定数aの値の範囲を [額] 323 6章 3 関数の増減と極大・極小 36

(2)と(3)が解説を読んでもなぜ異なる2つの実数解を持つという条件が必要かわかりません。 教えてください🙏

基礎問 150 95 接線の本数 3/ 曲線C:y=x-x 上の点をT(t, ピ-t) とする. (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. 点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式 を求めよ.ただし、a>0, b=d-α とする。 (3) (2)のとき、2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ. 精講 (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し ます. だから, (1) の接線にA(α, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注 で学習済みです. (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。 1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが 「接線が直交する」 を式にしたものです。 接線の傾きは接点における微分係数 (83)ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります. 解答 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x) =3㎡²-1 よって, Tにおける接線は, y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t) ∴.y=(3t2-1)x-2t3 (2) (1) の接線は A (a, b) を通るので b=(3t²−1)a-2t3 ∴.2t3-3at2+a+b=0 •••••• ......(*) (*)が異なる2つの実数解をもつので, g(t)=2t-3at2+a+b とおくとき, y=g(t) のグラフが、極大値、極小値をもち, (極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注 g'(t)=6f2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから 185 y=x²-x| 2.05./000 A(a,b){ a≠0 (909(a)=0) b=d-a, a>0 だから、a+b=0 (3) (2) のとき(*) より, t2 (2t-3a) = 0 参考 ポイント 2本の接線の傾きはf'(0),(2) だから,直交する条件より 13a 150 (0) (22)=-1 (− 1)(²77a²-1)=-1 a²= 8 27 a>0 より α =- 2√6 9 a=0 演習問題 95 [(a+b)(b-a³+a)=0 . b=. 2√6 9 3次関数のグラフに引ける接線の本数は 接点の個数と一致する <a≠0 は極値をもつ ための条件 3次曲線Cの変曲点 (88) における接線をひと するとき, 476519 斜線部分と変曲点からは1本引ける 実は、3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で す。 ・Cとl上の点(変曲点を除く)からは2本引ける 青アミ部分からは3本引ける 151 曲線 y=x-6.x に点A(2, p) から接線を引くとき、次の問いに 答えよ. (1) 曲線上の点T(t, ピー 6t) における接線の方程式を求めよ. (2) pt で表せ. (3) 点Aから接線が3本引けるようなかの値の範囲を求めよ. 第6章

微分積分の質問です。例外ありとありますが、例外ってなんですか？

3次関数の係数が + J (例外あり)

微分法の関数の増減と極大極小という範囲です。 解答の線の引いたところのf(3)=-26はどこからきた式ですか？？ わかる方教えてください🥺🥺 1枚目問題2枚目解答

*420 関数 f(x)=x3-3x2+ax+b が x=3 で極小値-26をとるように,定 数α, 6の値を定めよ。 また, 極大値を求めよ。 *421 3次関数 + d が x = -2 で極大値11 をとり x ||

自治医科大学 2次試験 数学 2021について質問です。 ⑶と⑷の記述の書き方について以下の画像のように記述しました。記述のモレや減点ポイントがないか確認していただきたいですm(_ _)m(答えは全てあっております) また3枚目に添付したのは赤本の解答なんですけど、「減... 続きを読む

128 2021年度 数学 lim cm について考える。 8118 |数学| (30分) 数列{cm} (cm は正の実数値をとる) は, 不等式I: cm² - 14cm² + (49- C 0 を満たすものとする。 1 n+3 以下の設問に答えよ。 = 関数f(x) = x3 14x2 + 49x, 関数gn (x)= ただし, は実数, nは自然数とする。 1 n+3 2) 方程式f(x-gn (x)=0は,x=0以外に 異なる2つの実数解をもつことを証明せよ。 - 自治医科大(医) - 2次 1) 関数y=f(x) の第1次導関数をもとめ, 増減表を作成し, グラフの概形をかけ。 x とする。 x=0以外の2つの実数解をan, bn (an > b) とし, a b それぞれをnの式で表記せよ。 3) , b, それぞれを数列{an} および数列{bn} と考えることにする (nは自然数)。 a, b をもとめ, b+1 > b および an > an+1 となることを示せ。 lim cm が収束する場合, その極限値を求めよ。 210 4) a, b, C の大小関係について考察し, lim c が収束するかどうか判定せよ。 7118

3次関数のグラフは接点と接線は1:1に対応する、とはどういうことですか？

この画像の問題がさっぱり分かりません 大至急誰か教えてください

数学ⅡⅠI 数学B (注)この科目には,選択問題があります。 (3ページ参照。) 第1問 (必答問題) ( 配点 30 ) [1] 0≦x<2π, 0≦β<2πとして連立方程式 2sina + cosβ=1 2cosasinβ=1 を満たす α, βについて考えよう。 方針 αとβについての連立方程式であるので, sin' β+cos'β=1 であることを用 いて, まずβ を消去する。 この方針に従うと, αは sina+cosa= イ を満たすことがわかる。 すると となる。 sina cosa= ア エオ となるので, sina と cosa を二つの解とする2次方程式の一つは カ キ x2- -x+ II=2 sind + 2 cos α = [ + Ginf=cop) ク ケコ = 0 -4- 201 (数学ⅡⅠ・数学B 第1問は次ページに続く。) 数学Ⅰ・数学A したがって となる。 また 省略 3~28 (sina, cosa)= が導かれる。 cos(α+β)= 択 方 法 左の2科目のうちから1科目を選択し、 解答し カ tz ソ サ 土 ス サモン ス -5- 数学ⅡⅠ・数学B (複号同順) (数学ⅡⅠ・数学B 第1問は次ページに続く。)

写真の問題について質問です。 この問題の解答は最大値f(0)<f(3)とf(3)=<f(0)の二つだけで場合分けしていますが、f(3)=f(0)としたとき、 a=2、b=-10という他の答えが出ました。しかし解答はa=1、b=-17だけなので、f(3)=f(0)のみの場合分... 続きを読む

例題 229 最大値・最小値から3次関数の決定 ★★★ 0<a<3とする。関数f(x)=2x-3ax²+b (0≦x≦3) の最大値が10, 最小値 が18のとき,定数a, bの値を求めよ。 例題223 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。 ②① の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。よって, その最大 値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をα, b で表す。 2SXX f(x)=6x2-6ax=6x(x-a) f'(x)=0 とすると x=0, a 0<a<3 であるから, 0≦x≦3における f(x) の増減表は次の ようになる x f'(x) f(x) 0 ゆえに b a また, f(0) f (3) を比較すると 0 + 1+0nieS1-0'niz0+28- 極小 b-a³ よって, 最小値は f(a)=b-a であり 1=S1-x$1+xS= 6-a³--18 1+0niaST-OS 2o E-nia8-(0)1 niz31-(0'niaS-1) ...... 1 最大値はf(0) = 6 またはf (3)=6-27a+54 2 S20203> x=0ofe 76-27a+54 1±√105 2 f(3)-f(0)=-27a+54=-27(a−2) 0<a<2のとき (0) (3) 2≦a <3 のとき (3) f(0) [1] 0<a<2のとき,最大値は f(3)=6-27a+54 よって 6-27a +54=10 すなわち 6=27a-44 これを①に代入して整理すると a³-27a+26=0 ゆえに (a-1)(a²+a-26)=0 よって a=1, 0<a<2 を満たすものは このとき, ① から [2] 2≦a <3 のとき, 最大値は f(0)=b よって b=10 これを①に代入して整理すると a³=28 283" であるから.α="283 となり、不適。 [1],[2] から a=1,b=-17 a=1 b=-17 最小値-18 最大 最小 (th極値と端の値に注意 大小比較は差を作れ S200x=Onla (最大値) = 10 因数定理による。 365 #(0)1 430 場合分けの条件を満 たすかどうかを確認。 (最大値) = 10 6章 36 場合分けの条件を満 たすかどうかを確認。 最大値・最小値

(2)です。2枚目で、青い線が引いてあるところなのですが、どうしてt＝0の時に最小値を取るとわかるのでしょうか、？教えていただきたいです。

3次関数f(x)=x-ar (aは定数)について, 以下の問に答えよ. 2 (1) 座標平面上の曲線 C:y=f(r) が点 (3, a) を通る接線をちょうど2本もつような αを求めよ. (2) 曲線C上の異なる2点S, Tそれぞれにおける C の接線がどちらも直線 ST に直交するとする.こ のようなS. Tが存在するαの範囲を求めよ. (3) 曲線と曲線y=(x-2)3-ax+2a の両方に接する直線がちょうど4本あるとき,それらの直 線をすべて求めよ.