y=x³は例外だと思います。
それは因数分解したら(x+1)³なので、x³をx方向に-1だけ平行移動しただけの関数であって、当然、関数の形自体は変わらないですよ。y=x³+2（y軸方向への平行移動）とかy=2x³（y方向に2倍伸ばした）とかy=-x³（x軸に関する対称移動）とかも同類です。
xがめっちゃ大きかったり小さかったりしたときに行き着く先（数3っぽく言えばx→±∞に飛ばしたときの極限）は3次の係数で完全に決まるので大雑把な理解として質問の写真に書いてあることは覚えておくべきですが、今「例外」と言っているのは、極値の有無のお話です。載せた写真はチャートの解説ページですが、極値をとらないような3次関数の代表例がy=x³です。微分すれば導関数が3x²となり、常に正になるからです。
どうやって判断すれば良いですか？x³+3x²+3x+1も例外らしいんですが、、