基本例題 191 導関数の計算 (1) ･･･ 定義, (x")'=nx-1
次の関数を微分せよ。 ただし, (1), (2) は導関数の定義に従って微分せよ。
(1) y=x2+4x
(2) y=
(3) y=4x-x²-3x+5
(4) y=-3x+2x35x²+7
解答
指針 (1), (2) 導関数の定義 f'(x)=lim
を利用して計算。
(3), (4) 次の公式や性質を使って, 導関数を求める。 (n は正の整数, k, lは定数)
(x")=nx"-!
特に
(定数)' = 0
(1)y'=lim
(2)
=lim-
1
x+h
y': =lim
{(x+h)²+4(x+h)}-(x2+4x)
h
{kf(x)+1g(x)}'=kf'(x)+1g'(x)
(x+h)"-x2+4(x+h)-4x
h
=lim
=2x+4
2hx+h²+4h
h
f(x+h)-f(x)
h
=lim(2x+h+4)
1 x-(x+h)
(x+h)x
-h
(x+h)x
であるから
-h
(x+h)x h
(3) y'=(4x-x²-3x+5)^=4(x)(x²)^-3(x)' +(5)、
=4.3x²-2x-3・1=12x²-2x-3
-1
=lim
h-0 (x+h)x
(4) y'=(-3x+2x3-5x²+7)'=-3(x)'+2(x²)-5(x²)+(7)、
となり, 上の結果と一致する。
=-3.4x+2・3x-5・2x=-12x+6x-10x
p.296 基本事項 [3]~[5]
<f(x)=x²+4x とすると
f(x+h)
=(x+h)"+4(x+h)
項をうまく組み合わせて、
分子を計算する。
導関数の定義式の分子
f(x+h)-f(x)
を先に計算している。
<{kf(x)+1g(x)}'
=kf'(x)+1g'(x)
4(x")=nx"-!
(定数) = 0
検討の微分についての指数の拡張
p.296 基本事項 ④ において, (x")'=nx-1 (n は正の整数) とあるが, n は正の整数に限らず,
負の整数や有理数であっても、 この公式は成り立つ (詳しくは数学Ⅲで学習する
例えば、上の例題 (2) については, n=-1 として, 公式 (x")'=nx"-" を用いると
7/2
(1)=(x^'=-1.x=x
