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基本 115 常に成り立つ不等式 (絶対不等式)
(1) すべての実数x に対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k> 0 が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数x に対して, 不等式 ax2²-2√3x+a+2≦ 0 が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
p.187 基本事項
指針左辺をf(x) としたときの, y=f(x)のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
すべての実数x に対してf(x)> 0 が成り立つのは,
y=f(x)のグラフが常にX軸より上側 (v>0 の部分)に
あるときである。
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は, x軸と共有点をも
たないことである。 よって, f(x)=0の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
D<0はkについての不等式になるから, それを解いてんの値の範囲を求める。
(2)(1)と同様に解くことができるが,単に「不等式」 とあるから.α=0の場合(2次
y=f(x)
f(x)の値が常に正
a=0のとき、
y=f(x) の
よって す
の条件は,
x軸と共有
ある。
2
める条件
であるか
よって
a<0と
[補足] この例題
対不等式