Question

塩

(1)のa>0かつD<0なのは何故なんでしょうか？

40(1) すべての実数 x に対して, 2次不等式 ax+(a-1)xta-1>0が常
に成り立つような実数aの値の範囲を求めよ。
【類 06 大阪樟女子大)
(2) 2つの2次方程式x°-3x+k=0, x°+kx-3=0が, 共通解をただ1つ
もつとする。このとき,k=" であり, 共通解はx=1]である。
[18 日本大)

40 (1) a>1 (2) (ア) 2 (イ) 1
[(1) ax°+(a-1)x+a-1=0 の判別式を
Dとすると a>0 かつ D<0
(2) 共通解を αとおくと
α2-3α+k=0, α'+ka-3=0
α? を消去して (k+3)(α-1)=0]

Answer 1

鴨嘴

aに関して、グラフが下に凸でないと全ての実数について成り立ちません。
また、D＜0の場合、解が虚数解となるので、実数平面では浮きます（表現は不適切かも）
D＝0については問題の二次関数>0なので、不適です。

Answer 2

たける

二次関数が0より大きいということは、x軸よりも上にグラフがあることになるので、まず、判別式は共有点を持たないのでD<0になります。
また、aが負だと、上に凸のグラフとなり、この条件を満たすことができません。

塩

(1)の答えがa>1になるのはa=1を代入するとxの2乗>0になってしまうからでしょうか？
違うようでしたら、なぜ1は含まれないのでしょうか？

たける

計算して共通範囲を取ってみれば、分かると思います。

塩

共通範囲を取ってみて1は含まれないと分かりましたですけど、なぜ1を使ってa>1って書くのでしょうか？
a>0とかだとダメなんでしょうか？

たける

aには1が含まれないと分かったんですよね？
もし、a>0とおけば、aは1を取り得るということになります。
それを防ぐためには、a>1にする必要があります。

塩

あ、そうなるですね！1を取ってしまいますね。
すみません^_^
丁寧にありがとうございました！

たける

そういうことです。
確かに、aが正という意味ではa>0でもいいかもしれません。ただ、正は正でも、1よりも大きい正ってことなので、a>1にする必要があります。

塩

わかりました！ありがとうございます