高一数1です。（2）と（3）で、最初に分母を有理化すると思うんですけど、（2）と（3）で有理化のやり方が違うのはなんでですか？

(2)与式 = = (1-(√2-√3)1+(√2-√3)} ((1+√2)+√3(1+√√2)-√3) 12-(√√2-√√3)2 (1+√2)2-(√3)2 1-(2-2√6+3) 2√6-4 NOG (1+2√2+2)-3 2√2 a V6-2 (V6-2)√2 == √2 (V2) 2 2√3-2√2 2 =√3-√2-Ly 1+22 (3)与式=- 3-√3+√6) (3+√√3+√63-(√√3+√6) 3-√3-√6 + BX-2) 32-(√3+√6)2 + \S+\) 3-√3-√6 -3+√3+√6 9-(9+6/2) 6√2+ (-3+√3+√√62 6(√2) 2 -3√√2+ √6+2√3 EV Tray 12

初歩的なものかもしれませんが、青色の質問にそれぞれ答えていただけると嬉しいです。早稲田大学の問題なので、ある程度の発想力は必要かもしれませんが、できるだけその思考のプロセスをお願いします！

20. 〈関数についての等式から関数の周期を決める〉 実数全体の集合を定義域とする定数関数でないxの関数f(x) が,次の条件 すべての実数xに対して,f(-x)=-f(x), f(1+x)=f(1-x) を満たしている。 このとき,次の条件 すべての実数x に対して, f(x+m)=f(x) を満たすような正の整数mの最小値はである。 [18 早稲田大・商]

マーカー部分はなぜこのように置けるんですか？

3章 図形と方程式 例題 85 円の方程式(2) 次の円の方程式を求めよ. (1) 点 (1,2)を通り, x軸とy 軸の両方に接する円 **** (2)(1,2)を通り、x軸に接し、中心が直線 y=2x-1 上にある円 見方 中心の座標や半径を文字でおいて, 与えられた条件にあてはめる. 答 (1)半径をr (r>0) とおいて, 中心の座標をを用いて表す. (2) 中心が直線 y=2x-1 上にあることから,中心のx座標をα とすると, y 座標は 2a-1 とおける.また, x軸に接するから, (円の半径) = | (中心のy座標) | である. (1) 半径をr (r>0) とおく. 条件より、円の中心は第2象限にあり,両座標 軸に接するから,中心の座標は (-r, r) とおけ YA 第2象限 (-ray) 接する る. この点と点 (1,2)の距離がであるから, YA 接する より、 {-r-(-1)}+(r-2)²=r r2-6r+5=0 (r-1)(r-5)=0 r=1.5 r=1 のとき, 中心 (1,1) =5のとき, 中心 (55) よって, (x+1)+(y-1)'=1 (x+5)'+(y-5)²=25 5 -10 x (2)円の中心が直線 y=2x-1 上にあるから,円 の中心の座標は, (a,2a-1) とおける. また,x軸に接するから、 求める円の方程式は、 (x-a)+{y-(2a-1)}=|2a-1|_ …………① 円 ① は点 (1,2)を通るから, (1-a)+{2-(2a-1)}=|2a-1|2 整理すると, a²-10a +9=0 S 0 「第2象限の点(-1,2) を通る」, 「x軸, y 軸と 接する」ことから, 半径 をとおくと,円の方程 式は, (x+r)+(y-r)²=r 図のように,2つの円 が考えられる. x 軸に接するから, 半径は |2a-1| |2a-1|=(2a-1)2 (a-1)(a-9)=0 a=1, a=9 よって、 ①より a=1のとき, (x-1)+(y-1)=1 939 a=9 のとき (x−9)²+(y—17)²=289

p,qに置き換えることをせずに計算したのですが、ここまで解いてaの式に変形するやり方が分かりません💦 どうしたらいいですか？

150 基本 例題88 曲線の接線の長さに関する証明問題 00000 曲線x+y=(a>0) 上の点Pにおける接線がx軸, y軸と交わる点を それぞれA, B とするとき, 線分ABの長さはPの位置に関係なく一定である ことを示せ。 ただし、Pは座標軸上にないものとする。 [類 岐阜大] 基本 83 指針 まず 曲線の対称性に注目 すると (p.178 参照), 点P は第1象限にある,つまり P(s,t) (s>0, t>0) としてよい。 p.145 基本例題 83 (1) と同様にして点Pにおける 接線の方程式を求め, 点 A, B の座標を求める。 線分ABの長さがPの位置に関係な 一定であることを示すには, AB2が定数 (s, tに無関係な式) で表されることを示す。 TRAYA 3√√x² + 3y² = 3√ √ a² (a>0) ① とする。 a 解答 ① は x を -x に, y を -y におき換えても成り立つから, 曲線① はx軸,y軸,原点に関して対称である。 よって, 点Pは第1象限の点としてよいから, P(s, t) (s>0, t>0) とする。 B P 9xs -a 0 a x A ゆるカーの -a また, s = p, t=g(p>0g0) とおく。 ...... (*) x>0, y>0のとき,①の両辺を x について微分すると x=acos30 y=asin³0 (*) 累乗根の形では表記 2 + 33√x 2y' 33√y =0 (ゆえに y'=-31 y Vx よって、点P における接線の方程式は ① が紛れやすくなるので, 文字をおき換えるとよい。 '=(x)=1/2x1 y-t=-3 ± 4 (x−s) S ゆえに y=-(x-p³)+q³ p ② S ② で y=0 とすると x=p+pg: 3 よって 22 = (su+/t)=(v^)=α2 App+g2), 0) x=0 とするとy=pq+g B(0,g(p+g²)) AB2={p(p2+q^)}+{g(p2+q^)}2 2 =(p²+q²)(p²+q²)²=(p²+q²)³ ◄s=p³, t=q³ ◄0=-(x-p³)+q³ 両辺にを掛けて 0-gx+ap+pg° ゆえにx=p+pg2 D したがって, 線分ABの長さはαであり,一定である。 <a>0

(2)の問題ではどうして線で引いたところをしめすと最終的にxとy、最小値がでているのか理解できません。どうしてなのか教えてください。

66 第3章 2次関数 基礎問 ● 38 最大 最小 (IV) x, yがすべての実数値をとるとき, z=x2-2.xy+2y2+2.4g+3 について,次の問いに答えよ. (1)yを定数と考えて, xを動かしたときの最小値mをyで表せ (2)(1)のmにおいて,yを動かしたときの最小値を考えることで、 精講 zの最小値とそのときのx,yの値を求めよ. 変数が2つ(xとy)ありますが,37のように文字を減らすこと できません.このような場合でも,変数が独立に動くならば、 の文字を定数と考えることによって, 最大値や最小値を求められます。 解答 (1) z=x2-2(y-1)x+2y2-4y+3 ={x-(y-1)}2-(y-1)2+2y2-4y+3 ={x-(y-1)}2+y^-2y+2 よって,m=y2-2y+2 ●式をxについて整理 ●平方完成 Rayをab.cと同じにする 39 最 △ABO 上にAI 垂線 DE (1) 長方 (2) Sの 長 精講 V (1) AI .. ま ま (2)m=y-2y+2=(y-1)+1 .z={x_(y-1)}2+(y-1)2+1 {x-y-1)}2≧0, (y-1)2 ≧0 だから -(y-1)=0 かつ, y = 1, すなわち A,Bが実数のとき A2+B2≧0 等号は A=B=0 (2) DE S= x = 0, y=1のとき, 最小値1をとる. のとき成りたつ ポイ ② ポイント 2変数の関数の最大・最小を求めるとき,それらが 立に動くならば、片方を定数と考えてよい ※定数・一定の数y=ax+bx+cにおけるa,b,c 演習問題 38 x, y がすべての実数値をとるとき, 32+2xy+y+4x-Aut 演習問題 39

この問題教えて欲しいです

基礎問 36 平行条 ry平面上の2つの直線 x-ay-3=0, x-(2a-3)y +5=0, 次の条件をみたすとき, 実数αの値を求めよ. (1) 平行 精講 (2) 垂直 2つの直線 y=mx+ni, kiy=m2x+n2 について I. //lm=m2 II.htmm2=-1 これが大切な公式であるのは事実ですが,この公式には「文字係数の直線 方程式に対してはまずいことが起こる可能性がある」という欠点があります。 その「まずいこと」とは,次のようなことを指します. a=0 のとき, αでわることができないので を ray+2=0 y=-x+2/2と書くことはできない。 a a そこで、ここでは,上の公式に加えて、ポイントにある公式を勉強します。 ください (別解)では,旧式(?)の解答も書いておきましたので、2つの解答を比較し (音量) 解答 (ax+by+ci=0,azx+by+c2=0 の型の方法) (1) 1{-(2a-3)}-(-a)・1=0 より-2a+3+α = 0 ∴.a=3 (2)1・1+(-a){-(2a-3)}=0 より1+202-3a= 演 ポイント

(3)が文字が多すぎてわからないです💦 3つの文字がある時になぜ解答のようになるのか教えて欲しいです!!

第1章 い J 10 第1章 式と証明 基礎問 是 • 42項定理 多項定理 (1)次の式の展開式における[]内の項の係数を求めよ. (ii) (2x+3y) (x³y²] (i) (x-2) (x³) (2) 等式 nCo+mCi+nCz+..+nCn=2" を証明せよ。 (3)(x+y+2z)を展開したときのry'zの係数を求めよ。 精講 2項定理は様々な場面で登場してきます. ここでは I.2項定理の使い方の代表例である係数決定 Ⅱ.2項定理から導かれる重要な関係式 以上2つについて学びます。 2項定理とは, 等式 (a+b)=n Coa"+na" 16+... +nCkan-kbk+... +nCnbn のことで, Cha"-kb (k=0, 1, , n). を (a+b)” を展開したときの一般項といいます。 参考 次に (x+y) を展開したときの一般項は Cirkyk-i したがって(x+y+2z) を展開したときの一般項は 6Ck kCixiy-(22)6-k =26-• Ch* Ci x¹y-iz-k よって, ray'zの係数は k=5, i=3 のときで 216C55C3=26C1・5C2 ポイント =2・6・10=120 11 定数の部分と文字式 の部分に分ける (a+b)" =nCoa+nCian1+..+nCkan-kbk+…+nCnbn 20% (3)は次の定理を使ってもできます. 多項定理 (a+b+c)” を展開したときの abc" の係数は >>n! (x) p!q!r! (p,g,rは0以上の整数で, p+g+r=n) (x+y+2z) を展開したときの一般項は 6! p!q!r!xy(22)=- 276! p!q!r! xyz" p=3, g=2,r=1のときだから求める係数は (p+g+r=6) 答 (別解) (1)(i)(x-2)を展開したときの一般項は Cr(x)^(-2)=Cr(-2)7-'.' r=3のときが求める係数だから < Crx7" (-2)" でも その数 文字 7X6X5 7C3(-2)=- .24=560 3×2 よい 2･6! -=120 3!2!1! (i) (2+3y) を展開したときの一般項は 5C(2.x)(3y)=5Cr・2'35-xTy5-r r=3のときが求める係数だから 5×4×3 5C3・23・32= ・・2・32=720 3×2 sCr(2x)-(3y)" T 文字 もよい (2)(a+b)"=Coa+nCia-16++nCn-ab-1„ C„b" の両辺に a=b=1 を代入すると (1+1)=„Co+„C+..+nCn ..nCo+nC+..+nCn=2" (3)(x+y+2z)を展開したときの一般項は。Ch(x+y)^(2z)6-k 注 1. 多項定理を使うと, 問題によっては,不定方程式 p+q+r=n を解く 技術が必要になります. 注2. (1)(ii)のようにx,yに係数がついていると, パスカルの三角形は使いに くくなります。 演習問題 4 (1) (32y) における ry の係数を求めよ. (2) Co-C1+C2-nCs+..+(-1)"C=0 を証明せよ -

あっていますか？💦

50 N18 (1) lim(4an-5bn) (2) lim(an-1) (3) lim An an+bn (4) lim 81U bn n→∞ an-bn 練習 lima=3,limb=-2のとき,次の極限を求めよ。 3 81U 81U

③のoAベクトル+nARベクトルのところでOAベクトルがなんどはいってきてるか教えてください

2 問1. O の二等分線と辺ABと の交点がQ だから AQ: QB=OA: OB=s:t 解答 ①~③より 02=stra+stt S OQ= 問2. ∠OAB の二等分線と辺OB との交点をRとす る。 a 問1と同様にして u stu u stu -6 ..... ① ...... ( V±1 + x² = 4 OR: RB=AO: AB=s: u •• AR=Í AO+ SABS&MRSQ s+u S a +- stu =-a+ -b S stu ISAB 5 (8-₂) +2· 0 .... MUS+ (ε-x) = S+(-x)m a B P (b-à) (10 321&b HOS OAS EX&b (2) 0=5+ m²-2-ray 0 [S+ ε-I-I-9/ 線分 OQ と線分 AR の交点をPとすると, 点Pは△OAB の内心である。 点Pはそれぞれ線分 OQ, AR 上にあるから,m,nを実数として OP=mOQ=OA+nAR (③3) 1+³mm=³(1-mS) A

(2)について、解答の右にある「もとの命題は真」とありますが、2乗って負の数になるんですか？ 2乗が0以上になるのはよく見るので分かるのですが、0以下になるのはよく分かりません。 よろしくお願いします。

78 補充 例題 45 「すべて」と「ある」の命題の否定 次の命題の否定を述べよ。 また、その真偽を調べよ。 (1) すべての素数』について, は奇数である。 (2) ある実数 α, bについて (a+b)2≦0 CHART O SOLUTION 「すべて」 「ある」 を含む命題の否定 すべてとあるを入れ替えて、結論を否定・・・･・ すべてのxについて =あるxについて PU のとき 「すべてのxについてである」は真 P≠Ø のとき 「あるxについてである」は真 解答 (1) 否定:ある素数』については偶数である。 2 は素数であるから 真 ir pl (0) 15 図(2) 否定:すべての実数α, b について (a+b²0 開始で a=b=0 のとき, (a+b)2=0 となるから偽 INFORMATION ｢すべて」「ある」の命題とその否定 1. すべてのx, ある x あるxについてp=すべてのxについてか また,全体集合を U,条件を満たすx全体の集合をPとすると,次のことが成 り立つ。 「すべてのxについて」を 0-01-S 「任意のxについて」, 「常に」 など, また 「あるxについて」を という表現で, それぞれ用いることがある。 2. 命題Aとその否定 A の真偽は逆転する。 00000 T A: 真→A: 偽, A: 偽→A: 真 基本39 JARAY TASSEL *** 「適当なxについて p」, 「少なくとも1つのxについてか」など (1) もとの命題は偽。 SEPA (2) もとの命題は真。