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数学 高校生

このマーカーで引いたところって、Q中心の半径1の円で-2t分回転させたからこのような座標隣っているのですか?

重要 例題 287 曲線の長さ (2) 円C:x+y2=9の内側を半径1の円Dが滑らずに転がる。時刻 t において D は点 (3cost, 3sint) でCに接している。 (1) 時刻 t=0 において点 (3,0)にあったD上の点Pの時刻t における座標 (x(t),y(t)) を求めよ。ただし, 0≦t≦πとする。 2 X(2) (1) の範囲で点Pの描く曲線の長さを求めよ。 [類 早稲田大〕 基本286 指針 (1) ベクトルを利用。 PはDの円周上にあり, Dの中心Qとともに動く。 そこで OP=OQ+QP (Oは原点)として, QP をもの式で表す。 Q, 毎日 円x2+y2=2(x>0)の周上の点Pの座標は (rcost, rsint) で表され,このとき OP がx軸の正の方向となす角はtである。 dx (2) p.465 基本事項 ① S. √ (d) + (a)* dy Ja V dt dt 解答 (1) A(3, 0), T(3 cost, 3sint) 3. 00107: DとCがTで接しているとき, Dの中心Qの座標は (2cost, 2sint) である。 また, TP=TA=3tである から,x軸の正の方向から半直線 QP への角は t-3t=-2t よって 0を原点とすると OP=OQ+QP introst ( = 16 sin²³-t 2 dt の公式を利用。 (2cost2sint)+(cos(2t), sin(-2t))ヶ =(2cost+cos2t, 2sint-sin2t) (2) x(t)=-2sint-2sin2t, y' (t)=2cost-2cos2t から {x' (t)}²+{y'(t)}²=4(sin²t+2 sintsin2t+sin²2t)=1 +4(cos²t-2 cost cos 2t+ cos²2t) =4(2-2cos3t)=8 (1-cos3t) よって、求める曲線の長さは 3 3 St / 16sin222tdt = S." asin 2/2 tdt 10 大 0905 YA 3 C D St 3 = =4・ -4. [-cos/211³-¹6) ・COS ・土 3 2 0 $3+$1 Q 3t 0≤t≤ 2012/2πであるから sin ²01² 3 T(3cost, 3sint) (0²2) 5 (1) ²2=(²²+²²= < sin20+ cos20=1, costcos 2t-sintsin2t =cos(t+2t) 半角の公式により -2t3 AX T 2004: 点Pの描く曲線はハイポ サイクロイドである(p.137 でα=3、b=1の場合)。 1-cos 3t =sin²t 2 RCK TO 100 4467 ◄S³* √ {x' (t)}²³+ {y'(t)}² dt 練習 a>0とする。 長さ2maのひもが一方の端を半径aの円周上の点Aに固定して, ©287 その円に巻きつけてある。このひもを引っ張りながら円からはずしていくとき, ひもの他方の端 P が描く曲線の長さを求めよ。 8章 41 曲線の長さ、速度と道のり 下移動

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数学 高校生

Q2からわからなくなりました。①は書いておりますが、あってるか分からないため②が書けません。 全く分からないので、教えて欲しいです。 できれば、早急にお願いしますm(_ _)m

Introduction 数当ての仕組みを探ろう 真さんは,計算の仕組みを,次のように予想した。 (真さんの予想) 214 (ウ)の計算結果を,“十の位以上”と一の位”に分けて, 分けた2つを足した数 が最初の2桁の整数になる。 (教科書 p.8) あるクラスでは,次のような数当て遊びをした。 21 +園 =25 25にしよう。 純さん:2 桁の正の整数っを 1 つ考えてください。 真さん:考えました。(25 にしよう) Q2 (真さんの予想)は正しいだろうか。 純さん:その数を 10 倍ィしてください。 真さん:はい。(25 × 10 = 250) 純さん:9 の段の九九を1 つ考えて,その答えを、いま 10 倍し た数から引いて,(ゥその結果を教えてください。 (ウ)の計算結果を,文字を使って式に表してみよう。 悠さん:2 桁の整数を 10a + b, 9 の段の九九の答えを 9n として計算すると,どのように表す ことができるかな。 真さん:はい。214 です。(250 - 36 = 214) 純さん:真さんが最初に考えた2 桁の整数は 25 ですね。 (イ)の数||(10a +b)× 10 = /00at 10b Q1 数当てを,いろいろな数で試し,最初の2 桁の正の整数を当てる仕組みを予想してみよう。 (ウ)の数 (100a+106)-9n (ア)の数を 25 に固定して9 の段の九九を変えたり,(ア)の数を変えて9 の段の九九を固定したり して、数当ての仕組みを調べてみよう。 2 真さんの予想が正しいことを確かめるためには,1で表した(ウ)の式をどのように変形すれば よいだろうか。 内の数 のの数 9の段の結果 けの数 れの数 9の段ウの結果 6。 241 232 25 250 110 9 101 25 250 “18" “12" 栄さん:十の位以上と,一の位に分けられればよいね。 真さん:計算結果の十の位以上と一の位の値は, 最初の2 桁の整数や9 の段の九九の答えとど 120 9 111 25 250 *27" 223 “13" 130 9 121 のような関係があるかな。 *以下の表を完成させよ。 ア イ ウ ア イ ウ 25 250 36 214 205 196 187 178 14 140 9 131 25 250 45 15 150 9 141 25 250 54 16 161 9 151 161 25 250 63 17 9 170 180 25 250 72 18 9 171 ミミ

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