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数学 高校生

なぜこの下線部が0より大きいことを証明すれば、n=k+1のときも成立すると言えるのですか?

E 数学的帰納法 (1) 146 (1) 任意の自然数nに対して 1 1 2 3 が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ. 3an-1 4an-1 1+ ・+:・・+・ + 1 2n 2. n n+1 (2) 初項 α=1 と漸化式 an+1= {an}について,以下の問いに答えよ. (i) a2,a3, a を求めよ. an をnで表す式を推測し,それを証明せよ. (1) 自然数nについての命題P(n) に対し、次の2つのことを示して, 無限にある命題がすべて真であるとする証明法を 数学的帰納法といいます。 精講 Int (I) P(1) は真である. (Ⅱ) P(k) は真であると仮定すると,P(k+1) も真である. (2) 型にはまった2項間, 3項間漸化式でない ときは,なかなか一般項が求められないものです. このようなときは, 本間のような (i),(ii)の誘導が なくても,一般項を推定し,それを数学的帰納法 で示すといった解法をとります. ( 愛知学院大) (n=1, 2, 3, …)で定まる数列 解答 (1)(I)n=1のとき(左辺)=1,(右辺)=- 2 1+1 2k k+1 + 2(k+1) k+2 解法のプロセス (1) 自然数nについての命題 P(n) の証明法 ↓ 327 ( 愛知教育大 ) 数学的帰納法 (II)n=kでの成立を仮定すると 2(k+1) 1 1 (1 + - ² + 1 ² + + — + x + 1) - ² +223 2 3 k ・P(1) は正しい ・P(k) が正しいと仮定する と,P(k+1) も正しい (2) 推定 ↓ 数学的帰納法で確かめる -=1 となり, 成立する. (帰納法の仮定) k (k+1)(k+2) ->0 1 k+1. (2k+1)(k+2)−2(k+1)² (k+1)(k+2) であるから,n=k+1 のときも成立する. (I), (II)より任意の自然数nに対して与えられた不等式は成立する. 第8章

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数学 高校生

Focusgoal352(3) 自分の示し方は正しいでしょうか。 係数の和が1で示しました。 教えてください。

*** -6, に 3:1に す。 23 に とPS AC 上 1 きる. ASは PS の定理 3 S=1 A =2AC 2 E-mc 理を Cの check 352交点の位置ベクトル (3) △ABCにおいて, BC=5, CA=6, AB=7 とする. この三角形の内接 円と辺BC, CA, AB の接点をそれぞれD, E, F とする. また, 線分BE | と線分 AD の交点をGとする. AB=p, AC=y として (1) 親分 BD の長さを求め, ADを,g を用いて表せ を用いて表せ。 (3) 3点C, G, F は一直線上にあることを示せ. 例題 台 Focus |x+y=5 y+z= 6 より z+x=7L② 3 ベクトルと図形 (3) C CF を用いて表す。 C, G, F が一直線上にあるということは、CG=kCF となる実数kが存在すると いうことである. (1) BD=BF=x,CD=CE=y, AE=AF=z とおくと, よって, BD=3, BD : DC =3:2 なので, 2AB+3AC AD= _2p+3q 5 5 (2) 点Gは線分 AD上にあるので, AG=kAD (kは実数) と表されるから, AG= ² kp + ³ kg 3 .......1 また, 点Gは線分BE 上にあるので, BG: GE=t: (1-t) とおくと,AG=(1-t) AB+tAÉ 2 x=3, y=2, z=4 よって AG=1/3+1/13 -p+ =(1-t)p+ta .....(2) b=0, 0, とすは平行ではないから、①,②より, B 10 k=1-t₁²³k = ²2²1 つまり、 k= 13 6 = ( 広島市立大 ) B → 7 IC (3) CF-AF-AC-47- CG=AG-AC (13+134)-9-13²-3²-33 (7-4) したがって, CG-173CF よって, 3点C, G, F は一直線上にある. *** F 3点A, B, C が一直線上 ⇔AC=kAB (は実数) -3- D 2 E DyC 4 E 617 第 9 章

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