ドイツの数学オリンピックの問題です。 問題を解いたのですが、正しい回答なのか、また、どうやって数学的に答えるのか今一わかりません。ご回答､よろしくお願いいたします。日本語に訳してます｡ 2025年のドイツ数学コンテスト第4問は、長方形の枠を使った戦略ゲームがテー... 続きを読む

leswettbewerbs Mathematik 2025 Aufgabe 4 Für ganze Zahlen m,n ≥ 3 besteht ein mxn-Rechteckrahmen aus den 2m+2n-4 Randquadraten eines in mxn Quadrate unterteilten rechteckigen Feldes. Die Abbildung zeigt beispielhaft einen 4x7-Rechteckrahmen. Auf einem solchen mxn-Rechteckrahmen spielen Renate und Erhard nach folgenden Regeln, wobei Renate beginnt: Wer am Zug ist, färbt eine rechteckige Fläche, die aus einem einzelnen weißen Quadrat oder mehreren weißen Quadraten besteht; gibt es danach noch weiße Quadrate, so müssen diese weiterhin eine zusammenhängende Fläche bilden. Wer den letzten Zug macht, hat gewonnen. Bestimme alle Paare (m,n), für die Renate eine Gewinnstrategie hat. Anmerkungen: Zwei Quadrate, die sich nur an einer gemeinsamen Ecke berühren, sind nicht zusammenhängend. Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen. der Rückseite beachten! Nicht vergessen: Einsendeschluss 3. März 2025

解説の①の両辺を…tan＝3となるのはなぜですか？ ①にtanは出てきてないですよね、、

B 264 sin0=3cose のとき, sin 0, cose, tan の値を求めよ。

答えを教えてください

r 第64回 rt 月日 2次不等式 (4) 組 l 番 名前 al 11 次の2次不等式を解け。 azy mizil (1) x2-5x+3≤0 sent sunt] entle gently elicious Jilifos] hin Bin] elegant [élignt) smooth lonely [lóunli] 点/10 第65回 月 日 2次不等式のまとめ (1) 番 名前 組 (1, 2) 各1点 (3) (6) 各2点 次の2次不等式を解け。 (4) x2-4x+4≤0 (1) x2-x-2>0 clear [kliar] pers [p5:rs love (2) 2x2-x-2<0 fliv (5)x2-2x+2> 0 bli [bl (2) 3x2+4x-40 (3) x2 +6x+9> 0 ED 点/10 (1)~(4) 各1点 (5) (7) 各2点 (5) x2+3x-3<0 (6) 2x2-2x-120 (7) x2+4x+8>0 (3) x2+4x-3> 0 (6) 4x2+12x+9 < 0 (4) 4x2+4x+1 < 0

2番の式が全体的に良くわかんないんですけど教えてくださいませんか？

第4 58 直線の傾きと (1) 軸の正方向と 75° をなす直線の傾きを求めよ. (2) 2直線y=0 (z軸) と y=2.x のなす角を2等分する直線の 精講 うち,第1象限を通るものを求めよ. (1)直線の傾きと,直線がx軸の正方向となす角の間には m=tan0 の関係があります。とても大切な関係式ですが、相 はこれだけでは答えがでてきません. それは tan75° の値を知ら ないからです.しかし, sin 75° や cos 75° ならば, 75° = 45° + 30°と考えれば 54の加法定理が使えます. だから,ここでは tangent の加法定理(ポイント を利用します. (2) 求める直線を y=mx, m=tan とおいて, 図をかくと, tan20=2 をみ たす m(または tanf) を求めればよいことがわかります。このとき、2倍 公式 (ポイント)が必要です. 解答 (1) 求める傾きは tan 75° tan 75°= tan 45° + tan 30° 1-tan 45°tan 30° 1 + tan 30° tan (a+β) tan +tanβ 1-tana tanẞ 1-tan 30° 1-1x59 =45°~B=30 1+ を代入 √3 √3+1 1 -=2+√3 1-- √3-1 √3 注 75°=120°-45°と考えることもできます。 (2)求める直線 y=mx, この直線がx軸の正方 向となす角を0とすると y y=2x =mx ゆえに, m=1-m² ∴.m²+m-1=0 m0 だから =1+√5 m=- 2 √5-1 よって, y= IC 2 (別解) A(1,0),B(1,m), C(1,2) とおくと, y=mxは∠AOCを2等分するので OA: OC=AB BC が成りたつ. .. 1:√5=m:(2-m) よって, m=- ポイント 2 √5-1 2 √5+1 <加法定理> 95 AE 03 第1象限を通るから I A53 (√5+1)=2「角の2等分線の 性質」 tana±tanẞ ・tan (α±β)= < 2倍角の公式> tan 20= 1 + tantan B (複号同順) 2 tan 0 1-tan20 <半角の公式> tan2 1-cos 2 1+cos 0 これらの公式はすべて, tan = Sing の関係と, sin, cos の加法定理、 COS O 2倍角の公式から導かれます. =2 B 演習問題 58 A (0<e<. m>0) tan20=2 2 tan 0 1-tan20 直線 y=x と y=2.x のなす角を2等分する直線y=mz (m> 0) を求めよ.

NEW ACTION LEGENDの練習199です。 模範解答では log(y)x = 1/log(x)y ...① と変形してから求めていますが、私は log(y)x = 1/log(y)x ...② と変形して求めました。 そもそも例題の証明を見ながら解いた上に、イマ... 続きを読む

324 練習 199 不等式 logxy-logyx-1<0 を満たす点 (x, y) が存在する領域を図示せよ。 底の条件より x>0,x≠1,y> 0, y ≠ 1 真数は正であるから y>0, x2 >0 よって x>0,x≠1,y > 0, y ≠1 1 logy x = であるから,与式は logx y logxy 2 logx y -1<0 ..① (ア) logxy > 0 ... ② のとき x>1 すなわち ly>1 ③または f0<x<1 10<y<1 ・④ ①の両辺に 10gxy を掛けると (logxy)2-10gxy-2 < 0 (logxy-2) (1logxy+1) <0 より -1 <logxy<2 ② より 0 <logxy < 2 すなわち logx1 <logxy<10gxx2 (i) ③ を満たすとき ⑤ より 5 1<y<x2 (ii) ④を満たすとき ⑤より 1 > y > x2 (イ) logxy <0... ⑥ のとき すなわち Jx>1 10<y<1 ①の両辺に 10gxyを掛けると (logxy)2-logx y-2 > 0 ... ⑦ または J0 <x< 1 ly>1 ⑧ (logxy-2) (logxy+1) > 0 より logxy <-1,2<logxy ⑥ より logx y <-1 すなわち 1 logxy<logx x (i) ⑦を満たすとき⑨より 1 0<y< x logxyだけで与式を 底はx(1) より, 不 号の向きは変わらない 底はx(<1)より、利 号の向きが変わる。 ●底はx(>1)より、 号の向きは変わらない

数IIの三角関数の問題です。 合成なのですが、答えと全く合わないため、解説をお願いします。

D 頻出 164 三角関数の最大・最小 〔4〕 合成の利用 ★★☆☆ = sin-√3 cost(0≧0≦z)の最大値と最小値,およびそ 10200+0mie (1) (1)関数y= のときの0の値を求めよ。 関数y=asin+coco (004)の最大値と最小値を求めよ。 lioAction asin0+bcos0 は, rsin (0+α) の形に合成せよ 例題 163 サインとコサインを含む式 (1) y=sine-√3 cos 0≤ B VII 0 0- sin0- ≤π S 図で考える nie) S-ynia 1 y = ↓ 2 sin (0) サインのみの式 A- (2) 合成すると,αを具体的に求められない。 3 OB 1 x 1 章 10 →αのままにして, sinα, cosa の値から,αのおよその目安をつけておく。 加法定理 (1) y=sine-√3 cose 元 =2sin0 in (0 3 as π より π ≤ 0- 3 3 23 よって 12 * sin(0-4)≤1 3 -√3≤ 2sin(0-3)≤2 y x 3 π COS 20 -√3 P nie 0800+ ite したがって T 20- 3 2 0-2 = 1 すなわち のとき 最大値2 5 0 = 020 2 O 11 1x 3 2 πのとき最大値2 3-1=3 π π 0- すなわち 0=0 のとき 最小値√3 3 3 3 例題 162 (2)y=4sin0+3cos0=5sin (0+α) とおく。 5 a 4 3 ただし, α は cosα = sina ... 15 ① を満たす角。 0 4 x π 2 π YA 0= 2 0≤0≤ より asta≦ +α ① より 0<a< であり, sina <sin (+α)である π 4 3 から sin (0+α) ≦1 5 大量 10 <3> a -1 04/1 x sin (+α) 5より, yは 最大値 5, 最小値 3 sina sin(+α) ≦1 164(1) 関数 y=sing-cost (0≦0≦x) の最大値と最小値, およびそのときの 0 の値を求めよ。 37851=0200+ Onia (1) sin+cosx) の最大値と最小値を求めよ。

この⑵で、三角形の重心と、Pを通る直線を求めようとしたのですが、模範解答はその解き方ではないですが、わたしの解き方でも答えはでますよね？？ でも解いてみると、2枚目の写真のようになって答えと違ってしまうんですけど、どこかで計算ミスしてるだけですかね、？

は、たの値に関係な ついての 恒等式 整理する。 ■3x+y-3=0 の交点を 恒等式と考える 係数比較法。 んについての恒等 る。 kA+B=0がんにつ ての恒等式 ⇔A=0, B=0 点の候補を求め、 それた なお、代入する YA めよ｡ -2k=0 0 」,「対 83 直線と面積の等分 重要 3点A(6,13), B(1, 2), C(9, 10) を頂点とする △ABC について (2) 辺BCを1:3に内分する点Pを通り, △ABCの面積を2等分する直線の (1) 点Aを通り, △ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。 方程式を求めよ。 基本 75.78 指針 解答 大 (1) 三角形の面積比 等高なら底辺の比であるから 求める直線は, 辺BC を同じ比に分ける点, すなわち辺BCの中点を通る。 (2) 求める直線は, 点Pが辺BCの中点より左にあるから, 辺ACと交わる。 この交点をQとすると 等角→挟む辺の積の比(数学A: 図形の性質) 1 CP+CQ により CB･CA 2 これから、点Qの位置がわかる。 各/1+9 合 (1) 求める直線は,辺BCの中点 を通る。 この中点をMとする と、その座標は ACPQ △ABC 2+10 2' 2 y-13= 自由標は すなわち (5, 6) よって 求める直線の方程式は (x-6) HAGENT = 6-13 5-6 y=7x-29 ya ( 3･1+1・9 1+3 0 A(6, 13) P B(1,2) 3.2+1 10 1+3 3 したがって (2) 点Pの座標は すなわち (3,4) 辺AC上に点Qをとると､直線PQ が △ABCの面積を 2等分するための条件は ACPQ CP:CQ 3CQ 1 △ABC CB･CA 4CA 2 -Q C(9, 10) ・M x B ゆえに CQ:CA=2:3 よって, 点Qは辺 CA を2:1に内分するから, その座 /1.9+2.6 1.10+2.13 2+1 2+1 すなわち (7, 12) したがって,2点P Q を通る直線の方程式を求めると y-4= 12-4 7-3 (x-3) すなわち y=2x-2 M 8 ABS ( △ABMと△ACMの高 さは等しい。 135 <異なる2点(x1, yi), (x2, y2) を通る直線の方 程式は y-y=21(x-x) X2-X1 から <AABC= =12CA-CBsin C, ACPQ=CP-CQ sin C 3章 ACPQ CP-CQ △ABC CB･CA また BC: PC=4:3 一直線の方程式、2直線の関係 喫 3点 A (20,24), B(-4,-3), C(10, 4) を頂点とする △ABC について、辺BC を 883 2:5に内分する点Pを通り, ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。 p.140 EX 56

場合の数です。(3)の問題について。 答えは合っているのですが(他の方法でやっている過去問の解答も同じでした。)、場合分けの仕方が納得いきません。 (い)では、全ての箱に同じ数だけ入っている場合などは場合分けしなくて良いのでしょうか

nを正の整数とし、n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える。 ただし、1個のボールも入らない箱があってもよいものとする。 以下に述べる4つの場合について、 それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい。 (1) 1からnまでの異なる番号のついた"個のボールを、A,B,C と区別された3つの箱 に入れる場合、 その入れ方は全部で何通りあるか｡ T (2) 互いに区別のつかない"個のボールを、A,B,C と区別された3つの箱に入れる場 合、その入れ方は全部で何通りあるか。 (3) 1からnまでの異なる番号のついた"個のボールを、区別のつかない3つの箱に入 れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか。 (4)nが6の倍数6m であるとき、n個の互いに区別のつかないボールを、区別のつか が ない3つの箱に入れる場合､ その入れ方は全部で何通りあるか。 AN AR

この問題について、途中で余弦定理を使う工程があるのですが、cos135ﾟではなくcos30ﾟを使って1=x²+2-2*x*√2*cos30ﾟという式にすると答えが√6±√2/2 となるのですが、なぜ√6-√2 /2じゃなければダメなのですか？

joogle.com/ille/d/TEKTLX4E2VHE08Z097fvh5RwJRxSvTG/view 16 BC=√2, ∠B=15°, C-30°であるような △ABCの面積を求めよ.

数Iの2変数関数の最大・最小の問題です。 1枚目の写真では-(y+1)^2の部分が直前の{}^2の部分に入っていないのに、2枚目の写真では-(y-3/2)^2の部分が{}の部分に入っているのでしょうか。 なぜ違いがあるのか教えてください。 よろしくお願いします。

FREE Pをxについて整理すると P=x2-2xy+3y² -2x+10y + 1 =x2-2(y+1)x+3y2 + 10y +1 ={x-(y+1)} -(y+ 1)2 +3y^2 + 10y + 1 =(x-y-1)2 +2y+8y = GENO =(x-y-1)2 + 2(y + 2)² - 8 x, y は実数であるから Bue (x-y-1)≧0, 2(y+2)≧0 等号が成り立つのはx-y-1 = 0 かつ y+2=0 すなわち x = -1, y=-2 -(1-8)= a のときである。 したがって x=-1, y=-2のとき 最小値-8 xについての2次式とみ て,平方完成する。 yは 定数とみて考える。 おyを定数とみたときの最 小値mは m = 2y2+8y この最小値を考えるため, さらに平方完成する。 (実数) ≧0 ■Pの2つの()内が 0となるとき, (0)² +2(0)²-8=-8 より, Pは最小値-8を とる。 る。 7 2次関数の最大・最小