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基本例題100 放物線とx軸の共有点の座標
次の (1)~(3) の2次関数のグラフはx軸と共有点をもつか。 もつ場合は、その
標を求めよ。
(1) y=x2-3x-4
(2) y=-x2+4x-4
指針▷ 2次関数y=ax²+bx+cのグラフとx軸の共有点のx座標は,2次方程式
ax2+bx+c=0の実数解である。 したがって,次のことがいえる。
共有点のx座標
方程式の実数解
また,2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をD=62-4ac とすると, グラフとx軸の共有
102
点の個数は
解答
(1) x2-3x-4=0 とすると (x+1)(x-4)=0
よって
x=-1,4
したがって,x軸との共有点は2個あり, その座標は
(-1,0),(4,0)
D>0⇔2個
-> D≧0⇔共有点をもつ
D=0⇔1個
D<0⇔0個 - D<0⇔共有点をもたない
x2-4x+4=0
(*)
(2) -x2+4x-4=0 とすると
ゆえに (x-2)=0
よって
x=2 (重解)
したがって,x軸との共有点は1個あり, その座標は
(2, 0)
(3) 2次方程式 3x²-5x+4=0の判別式をDとすると
D=(-5)-4・3・4=-23
(1) YA 3
2
D<0であるから、グラフとx軸の共有点はない。
(2) y
(3)
Ay
0
J
-4
-10 14x
-4
25
x
(3) y=3x-5x+4
p.161 基本事項 ①. ②
4
23
12 5
6
x
*
検討 2次関数のグラフがx軸と1点を共有する場合
<x2-3x-4=0 の判別式を
D とすると
D=(-3)²-4・1・(−4)
=25> 0
(*)の判別式をDとすると
D=(-4)²-4・1・4=0
グラフはx軸に接し,点
(20) は接点である。
[注意] 2次関数のグラフとx
軸の共有点の有無だけなら,
D=62-4ac の符号を調べる
ことでわかるが、共有点の座
標を求めるときは,左の (1),
(2) のように2次方程式を解
く必要がある。
COMPOS