要例題166 対数関数の最大 最小 (2)
OO0O
x22, y22, xy=16 のとき、(log2x)(1og2y)の最大値と最小値を求めよ。
基本 162
CHART OSOLUTION
整式と対数が混在した問題
式の形をどちらかに統一
条件 x22, y22, xy=16 と,値を求める (1og2x)(log2y) の式の形が異なるから
扱いにくい。したがって,式の形を統一することから始める。
このとき,(log2x) (log2y) の 1ogを取り外すことはできないから,条件式を対数
の形で表す。条件式の各辺の2を底とする対数をとると
log2x2log22, log2y2log22, log2xy=log216 すなわち log2x+log2y=4
よって, log2x=X, log2y= Yとおくと,この問題は
X21, Y21, X+Y=4 のとき,XY の最大値 最小値を求める問題
になる。後は 条件式 文字を減らす 変域に注意 の方針による。
解答
x22, y22, xy=16 の各辺の2を底とする対数をとると
log2x21, log2y>1, log2x+log2y=4
log2x=X, log2y=Y とおくと
Logglos+ log2xy
=log2x+log2y
X21, Y21, X+Y=4
の
また 1og216=1og2
X+Y=4 から
Y=4-X
Y21 であるから
DX21 と合わせて
また(log2x)(1og2y)=XY=X(4-X)
消去する文字Yの条件
(Y21)を,残る文字X
の条件(X<3) におき換
える。これを忘れないよ
うに注意する。
4-X21
ゆえに、X<3
1SX<3
2
=-X°+4X
=-(X-2)?+4
f(X)+
4
3
これをf(X)とすると,② の範囲に
おいて,f(X)は
X=2
で最大値 4,
{01 2 3 4X
X=1, 3 で最小値3をとる。
X=2 のとき Y=2,
X=1 のとき Y=3,
のから
00
X=3 のとき Y=1
log2x=X, log2y=Y より, x=2*, y=2" であるから
16
yの値は y==
x
から
(x, y)=(4, 4)
(x, y)=(2, 8), (8, 2) で最小値3
で最大値4;
めてもよい。
をとる。
