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重要 例題 111 連立2次不等式が整数解をもつ条件
がちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。 (DS)+(摂南大]
についての不等式x (a+1)x+α<0, 3x²+2x-1>0 を同時に満たす整数x
基本 36,108
指針① まず,不等式を解く。不等式の左辺を見ると,2つとも因数分解ができそう。
なお,前者の不等式は,文字αを含むから,αの値によって場合を分ける。
[②] 数直線を利用して、題意の3つの整数を見定めてαの条件を求める。
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【CHART 連立不等式 解のまとめは数直線
解答
x2-(a+1)x+α<0 を解くと (x-a)(x-1) <05 (8-x)(x-x) FIAND
α<1のとき a <x<1
α=1のとき 解なし
α>1 のとき 1<x<a]
3x2+2x-1>0を解くと
[6]
x<-1, 1/30
[1] a <1のとき
3つの整数xは
<x
x=-4,-3, -2
よって
[2] α>1 のとき
3つの整数xは
-5≤a<-4
S-
① ② を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するのは
CHRO
a < 1 または α>1 の場合である。
[1]
②
x=2, 3,4
(2)
(x+1)(3x-1) > 0から
02
①
(2(x-x)(8+)
[2]
よって 4<a≦5
[1], [2] から, 求めるαの値の範囲は
-5≦a<-4, 4 <a≦5
-5-4-3-2-1011
(1)
a
1 (1
3
02 (1-1) 2
-1 0 1 2 3
1
3
0≤(1-1)×
+5
x
x
α=1のとき, 不等式は
(x-1)² <0
これを満たす実数xは
存在しない。
実数Aに対し
A≧0 は 常に成立。
A'≦0 なら A=0
A'<0は不成立。
-5 <a<-4としないよう
に注意する。
a<x<-1の範囲に整数3
つが存在すればよいから,
a=-5のとき,
-5<x<-1となり条件を
x210x
満たす。
Isl.
[2] のα=5のときも同様。
