(1) f(z)は ェ=0 で連続であるが, S'(0) は存在しないことを示せ,
(2) g'(0)は存在するが, g'(z)は エ=0 で不連続であることを示せ。
専問 23
微分可能と連続
(エ=0)
0
(ェ=0)
0
9(z)=
f(x)=
r'sin
I
とする。
(エキ0)
Isin
I
. (0キエ)
(鳥税
連続性,微分可能性, いずれも定義
に立ち返って考えます。
(1) f(0)=0 ですから, エ=0 で連続であるこ
解法のプロセス
エ=0 で連続(微分可能)を
精講
f(0)=0 だから
とは
1
=0
lim f(h)=limhsin
oi23limf(h)=0
h
h→0
h→0
h→0
f(h)
が成り立つことです. 問題は振動する sin
の
h
lim
が存在する
\h→0
h
を示す
扱い方ですが,sin-S1 を用いてはさみ打ち
にします。f(0) が存在しないことを示すにも,
微分係数の定義にもとづいて, 三角関数の値の振
動に注目することになります。
(2) ほぼ(1)と同様です。 ただし, (1)の結果をう
まく利用して簡潔な答案になるように心がけます。
解答
(1) f(0)=0 より
0<|f(h)-f(0)|=If(h)|=|hsin-<lh|
はさみ打ち
. 1f(h)-f(0)|→0 (h→0)
: f(h)→ f(0) (h→0)
ゆえに,f(z) は エ=0 で連続である.次に
f(h)-f(0)-sin(hキ0)
S1
h
2
において, limsin は振動して有限な値に収束
(n
(2n+1)π
=h
h→0
とすると,
しないから,f'(0) は存在しない。
sin-=(-1)"
h
