基礎問
56 第2章 複素数十回
33 領域 (ⅡI)
Xe
不等式 |z|≦1, (1−i)z+(1+ i)z≧2を同時にみたすzの存在する領
域をDとする.このとき, 次の問いに答えよ.
TOTA
(1) Dを図示せよ.
(2) |z|の最小値を求めよ.
|精講
32 と同様に,2つの手段が存在しますが, (1-i)z+(1+i)z=2の
図形的意味がよくわからないので, z=x+yi とおきましょう.
解答
(1) z=x+yi とおくと
|z|≦11 |x+yi|≦11x2+y≦1………①
また, (1-żz+ ( 1 + i)z≧ 2
⇒ (1−i)(x+yi)+(1+i)(x−yi) ≥2
1x+y≧1 ......
②
① ② をともにみたす (x, y) は右図の斜線
部を表す. ただし, 境界も含む.
(2) |z|は原点と領域D内の点との距離を表すので,
最小値はzが0から直線 x+y=1 におろした垂線の足と一致するとき.
よって, 求める最小値は
1
√√2
演習問題 33
YA
IC
ポイント 複素数平面上の点zの軌跡はz=x+yiとおいて、
との関係式を求める手段が最後の切り札
存在する領域をDとする.
DARITUE
IC
KAZALOGUE()
不等式|z-1|≦1, (1-2i)z+(1+2iz 6 を同時にみたするの
の最大値、最小値を
34
精
す
