144.2 「y=(x+1/2)^2-5/4」と書いたところから直で 「したがって...」と記述してもいいですか？

重要 例題 144 三角方程式の解の個数 aは定数とする。0に関する方程式 sin²0-cos0+α=0 について,次の問いに答 えよ。ただし、0≦0 <2π とする。 (1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。 (2) この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ。 指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると 前ページと同じように考えてもよいが, 処理が煩雑に感じられる。そこで, x²+x-1-a=0 (-1≤x≤1) WATC ① 定数αの入った方程式 f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右 辺に移項した x2+x-1=αの形で扱うと、関数 y=x2+x-1(-1≦x≦1) のグラフと直 線y=a の共有点の問題に帰着できる。 直線y=a を平行移動して, グラフとの共有点を調べる。 なお, (2) では x=-11であるxに対して0はそれぞれ1個, -1<x<1であるxに対して0は2個あることに注意する。 解答 COS0=x とおくと, 0≦0<2πから 方程式は (1-x2)-x+a=0 したがって x2+x-1=a 5 f(x)=x2+x-1 とすると = ( x + 1 1/2)²³ - 1²/1/2 (1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で, 関数 y=f(x) の グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。 よって、 右の図から ≦a≦1 5 (2) 関数y=f(x)のグラフと直線y=a の共有点を考えて 求める解の個数は次のようになる。 5 4 5 [1] a<-1, 1 <a のとき共有点はないから 0個 [2] a=-- -1≤x≤1 5 [3] <a<1のとき f(x)=(x+ のとき,x=- から 2個 =1/3から 2 1 2 <x<0 の範囲に共有点はそ [6]→ [5] - 練習 ④ 44 よって調べよ。 ただし, 0≦02m とする。 [4]/ [3]+ [2] この解法の特長は, 放物線を 固定して, 考えることができ るところにある。 [6] - [5] [4] - [2]+ [4]+ グラフをかくため基本形に。 iy=f(x) ya XA 11 0 -1<x<- 1 2' れぞれ1個ずつあるから 4個 [4] α=1のとき、x=-1 から 3個 0 [5] -1<a<1のとき,0<x<1の範囲に共有点は1個あるから2個 [6] α=1のとき、x=1から1個 π 重要 143 1 y4 1 O 12 1x [Q 20 152-7605724 0に関する方程式 2cos20-sin0-a-1=0の解の個数を,定数aの値の範囲に Cp. 226 EX90, 91 [3] 225 144 24 三角関数の応用 4章 23

三角方程式、不等式の問題です。 例題(1)、(2)をなるべく分かりやすく教えていただいてもよろしいでしょうか…🙇‍♂️計算過程も書いてくださると助かります。

例題 31 三角方程式,不等式 0≦x<2πのとき、次の方程式、不等式を解け。 (1) sinx-cos2x=0 (2) 〔(1) 京都産大, (2)類 福岡教育大] cos2x+cosx+1>0

155.1 この解答は記述問題でこれを書いても問題ないですか？？

244 基本例題155 三角方程式・不等式の解法 (4) 合成利用 0≦xのとき、次の方程式, 不等式を解け。 (1) cos0+√3 sin0+1=0 (2) cos 20+ sin 20+1> 0 基本154 指針▷ sin, cos が混在した式では,まず,1種類の三角関数で表すのが基本。 特に、同じ周期の sin と cos の和では, 三角関数の合成 が有効。 (1) sin 0, cosの周期は2π (2) sin 20, cos 20 の周期は であるから,合成して, sin (0+α) の方程式, sin (20+α) の不等式を解く。 なお,0+α など, 合成した後の角の変域に注意。 【CHART sin と cos の和 同周期なら合成 解答 (1) √3sin0+cos0=2sin(0+ c) であるから、方程式は 2sin(0+)+1=0 1021= sin(0+ 7) = -1/12/2 ゆえに ≤t≤r+ π 0+ -=t とおくと, 0≦O≦πのとき この範囲で sint=- を解くと 2 0=t-T π 20+ -=t とおくと, 0≦0≦xのとき 4 この範囲で sint> - すなわち よって, 解は (2) sin20+ cos20=√/2sin(20+T) であるから、不等式は √ sin (20+4)+1>0 ゆえに sin (20+4) 1/12 TC 4 π 4 5 Ist</n, n<ts ²n 9 π π 4 = TC √√2 ≤20+ を解くと π 6 20 TC 5 < 4 7 4 t= π 6 7- TC 4 ≤t≤2π+ 9 合成利用 1000 90good+Omien TRAI T -Omil TC 4 Y₁ yA (√3,1) 1 6 O -11 1x0 2 5 yA ya K /2 0 重要 160 10 y X /1x (1,1)

教えてください

63 三角方程式 cÙNG Arang=vin 0≤a<7, 0≤B≤n 2 FL 2 (22) π 2 -α = sina を用いて, sina = cos2β･･･････① をみたす β をαで表せ. OMETHR COS

赤線で囲った隠れた条件の部分 なんで０以上１８０以下になるのですか？

12 内積の計算 (成分) 基本例 次のベクトルa, の内積と, そのなす角0を求めよ。 (1) = (−1, 1), 6 =(√3-1,√3+1) (1) と また 内積の成分による表現 a = (a1,a2), 万 = (b1,62) のとき, a, ものなす角を0とする a.b a·b=a₁b₁+a₂b2 |al|b| 成分が与えられたベクトルの内積はAを利用して計算。 また、ベクトルのなす角は⑥を利用して、三角方程式 cos0=α(-1≦a≦l) を解く 問題に帰着させる。かくれた条件0°≧0≦180°に注意。 よって cos = また d = (-1)x(√3-1)+1×(√3+1)=2 |ã|=√ (−1)²+1² = √2, |b|=√(√3 −1)²+(√3+1)² = √8=2√2 lal 0°180°であるから (2) a.b cos0= 2 2×2√2 a.l=1×1+2×(-3)=-5 |à|=√1²+2² = √5, |B| = √ 1²+(−3)² =√10 à• b よって Tä||b| läb 20°180°であるから 0=135° 0=60° q=0Ã 700 (2) a=(1, 2), b=(1, -3) COS A= 1 2 00000 -5 1 √5√10 √2 /p.379 基本事項 4 (1) B (x成分の積) + (y成分の積) -1 P YA 1 52 0 45° SIE P +60% 7 12 135° 0 38 1x 1x 余弦定理を利用してベクトルのなす角を求める 上の例題 (1) において, a b のなす角 9 は, 次のように余弦定理を利用して求めること 討 きる。

143. この問題のようにθの範囲が書いていない問題は 0≦θ<2πと考えればいいのですか？？ 解答があまりどういうことなのかピンとこなかったので自分が学んだ方法で解こうとしたのですが、この方法（写真2枚目）でも解けますか？ 解ける場合どう解くか教えてほしいです。

224 重要 例題 143 三角方程式の解の存在条件 10 の方程式 sin20+acos0-2a-1=0 を満たす0があるような定 ure 囲を求めよ。 指針▷ まず, 1種類の三角関数で表す (1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0 ...... 解答 cos0=x とおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は (1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0... ① この左辺をf(x) とすると, 求める条件は, 方程式f(x)=0が -1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。 これは, 放物線y=f(x)とx軸の共有点について,次の [1] ま たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。 口 [1] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で, x軸と異なる2 点で交わる, または接する。 よって、求める条件は、 2次方程式 ① が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもっ ことと同じである。 次の CHART に従って、考えてみよう。 2次方程式の解と数々の大小グラフ利用 D, 軸,f(k) に着目! 1 このための条件は、 ①の判別式をDとすると D≧0 D=(-α)²-4・2a=α(a-8) であるから a(a-8) ≥0 (2 よって a≦0,8≦a a 軸x=1/28 について-1<<1から 2<a<2 ...... a>. IKACION cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で, 与式は f(-1)=1+3a > 0 から f(1)=1+a>0 から ②~⑤の共通範囲を求めて <a≦0 ① [2] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸とただ1点 ---- で交わり,他の1点は x<-1, 1<xの範囲にある。 このための条件は f(-1)ƒ(1) <0 1 3 a>-1 1 3 a=- (4) (5) ゆえに (3a+1)(a+1)<0よって-1<a<- a<- 1/13 1 またはa=-1 ① [3] 放物線 y=f(x)がx軸と x = -1 または x=1で交わる。 f(-1) = 0 またはf( 1 ) = 0 から [1], [2], [3] を合わせて -1≤a≤0 [参考] [2] と [3] をまとめて,f(-1)(1)≧0としてもよい。 3 [同志社大] ③3③ 練習 0 の方程式 2cos²0+2ksin0+k-5=0を満な ④143 を求め 検討〉 TAHO x2ax+2a=0 をαについ て整理すると x2=a(x-2) よって, 放物線 y=x2 と 直線 y=a(x-2)の共有点のx座 標が-1≦x≦1の範囲にあ る条件を考えてもよい。 解 編 p.139 を参照。 [1] \ YA + 11 D2 (794) [2] YA -1 Do 基本140 -1 YA -1 1 00 + X 大量 <D-[0] X

144.1.2 記述はこれでも大丈夫ですか？？

とも1つの円 に着目 +2a=0& すると 2=a(x-l 放物線 リニュ -2) の共有 ≦x≦1の 考えてもより を参照。 YA 重要例題144 三角方程式の解の個数 Capry aは定数とする。0に関する方程式 sin' 0-cos0+α=0 について,次の問いに答 えよ。ただし, 0≦02とする。 00 [[大 (1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。 (2) この方程式の解の個数をαの値の範囲によって調べよ。 指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると 前ページと同じように考えてもよいが、処理が煩雑に感じられる。 そこで、 x2+x-1-a=0 (-1≦x≦1) ① 定数αの入った方程式f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右 大辺に移項したx2+x-1=αの形で扱うと、関数y=x2+x-1(-1≦x≦1) のグラフと直 線y=a の共有点の問題に帰着できる。 DET. www.e ] → 直線y=a を平行移動して, グラフとの共有点を調べる。 なお, (2) では 方程式は したがって 解答 cos0=xとおくと、0≦0<2πから (1-x2)-x+α=0 x2+x-1=a f(x)=x2+x-1 とすると f(x)=(x+ (1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で、関数 y=f(x) の グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。 5 よって、 右の図から ･≦a≦1 (2) 関数 y=f(x)のグラフと直線y=α の共有点を考えて、 求める解の個数は次のようになる。 [3] x=-1, 1であるxに対して0はそれぞれ1個, -1<x<1であるに対して0は2個あることに注意する。 5 [2] a=-- 5 4 5 4' — 練習 144 A [1] a<-- 1 <a のとき共有点はないから 0個 のとき, x=-- <a <1のとき -1exelt 2 2 から 2個 5 4 -1<x<--<x- れぞれ1個ずつあるから 4個 [4] α=-1のとき, x=-1, 0 から 3個 <x<0 の範囲に共有点はそ [6] [5] [4] この解法の特長は、放物線を 固定して, 考えることができ るところにある。 [3]→ 友量[2]- [6]→ [5]- [4]~ [2]+ [4]→ グラフをかくため基本形に。 y=f(x) 1 重要 143 XA iO |1 TIR» 1 2 YA 1 [5] -1<a<1のとき,0<x<1の範囲に共有点は1個あるから 2個 +35850 08 [6] α=1のとき, x=1から1個 2π 225 [3] 2001 0に関する方程式 2cos2Q-sin0-a-1=0の解の個数を,定数aの値の範囲に p.226 EX90,91 ただし。 0≦0<2πとする｡ 4章 23 三角関数の応用

140.2 これでも記述に問題ないですよね？？

π 137,138 fr 基本例題140 三角方程式・不等式の解法 (2) … sin'0+ cos'0=1 0≦2のとき,次の方程式、不等式を解け。 (1) 2cos20+sin0-1=0 指針 複数の種類の三角関数を含む式は,まず1種類の三角関数で表す。 (1) cos²0=1-sin20, (2) sin²01-cos20 を代入。 ② (1) は sin だけ (2) は cos0 だけの式になる。 このとき, -1≦sin0≦1, -1≦cos 0≦1に要注意! ③3②で導いた式から, (1) : sin0 の値 (2):cose の値の範囲を求め, それに対応するの 値, 0 の値の範囲を求める。 CHART sin ← cos の変身自在に sin0+cos20=1 解答 (1) 方程式から 2(1-sin²0)+sin 0-1=0 整理すると 2sin²0-sin0-1=0 ゆえに (sin0-1)(2sin0+1)=0 よって 0≦0 <2πであるから sin0=1より sin0=- 1/1より したがって、 解は sin0=1, 125 (2) 不等式から 整理すると よって これを解いて 2 0=2/ 7 0= -π, 6 π 0=²2₁ 11 16 (2) 2 sin²0+5 cos 0-4>0 基本 137,138 π 7 Tπ, 6 11 6 200)-(0²203-1))=140200 YA TC 2(1-cos²0)+5 cos 0-4>0 2 cos²0-5 cos 0+2<0 (cos 0-2) (2 cos 0-1) <0 0≦0<2のとき, -1≦cos0≦1であるから常に COS 0-2 <0である。 したがって 2cos 0-10 すなわち cosA> 050<x<0 2n WIL Lt 1 HOFONIA 191 -1 cos20=1-sin20 -1/201 6 70 -1 5 重要 143 YA 1 sin20=1-cos20 O 1 x 11. 6' |-1| 1 1 x 2 21.CO 221 4章 2 三角関数の応用 23 'Da

(2)の問題で、なぜ0°≦θ≦180°という範囲になるのか分かりません💦

1402 基本 例題 11 内積の計算 (1) a=(-1, 1), b=(√3-1, √3+1)-(2) a=(1, 2), b=(1, -3) 次のベクトルa, この内積と,そのなす角0を求めよ。 p.400 基本事項 指針 内積の成分による表現 α = (a1,a2), = (b1,62) のとき, a, 6 のなす角を0とすると NHAU ĐI DU KHI HÀN a. b BB |al|b| 解 答 a·b=a₁b₁+a₂b₂ A cos 0= 成分が与えられたベクトルの内積は ⑩ を利用して計算A (S) また, ベクトルのなす角はBを利用して, 三角方程式 cosA=α (-1≦a≦1) を解く問 題に帰着させる。 かくれた条件0°≧0≦180°に注意。 ...... !!」 さん よって (1) また lal=√(-1)²+12=√2. = (-1)x(√3-1)+1=(√3+1)=2 よって 161=(√3-1)^2+(√3+1)=√8=2√2 a.b 2 1 lal161 √√2×2√2 2 0=60° COS A= ...... cos0= = 0°≧0≦180°であるから ab -5 lalo √5/10 0=135° = = 口 0° 0 ≦180° であるから (2) a.d=1×1+2×(-3)=-5 また |a|=√1+2=√5|6|=√12+(-3)^2=10P 100000 == √2 FCON C (1) (2) -1 |\=4+ J1 YA 1 12 0 1 +1²-08 5 allAG-AR YA √√2 _ P 160° 10 ✓ AHO 1x 1350 1x

ここってなんで2πじゃなくてπなんですか！！

基本例題 161 三角方程式・不等式の解法 (4) 合成利用 ①000円 0≦0≦²のとき、次の方程式、不等式を解け。 (alays (1)√3sin+cos0+1=0 020 (2) cos 20+sin 20+1>0 & 基本160 重要 166 指針 sin, cos が混在した式では,まず,1種類の三角関数で表すのが基本。 特に,同じ周期の sin と cos の和では、三角関数の合成が有効。 (1) sin, cos の周期は2π (2) sin 20, cos20の周期は であるから,合成して, sin (0+α) の方程式, sin (20+α) の不等式を解く。 なお,0+α など, 合成した後の角の変域に注意。 CHART sin と cos の和同周期なら合成 解答 (1) 3sin+cos0=2sin (0) であるから、方程式は 2sin (0+)+1=0 10212 sin(0+ 7) = - 1²/21 ゆえに oto=tとおくと、0≦O≦ぇのとき この範囲で sint=- =1/2 を解くと よって, 解は 0=t== π 6 ... この範囲で sint> - π 36 ≤t≤n+ (2) sin 20+ cos20=√2 sin(20+4)であるから、不等式は ―1を解くと 7 4 π √ sin (20+ 4 ) +1>0 ゆえにsin (20+44) > 1/12 4 5 9 Ist<r. r<isr 4 7 π A1 (8) t= 610 800 8 20+4=t とおくと,Oのとき≦t≦2x+ π 4 4 π, -π<20+ (E) + (1 -=-90 π 6 10 RM SA π 5 すなわち / 12/12/ ·≤20+ < T 4 3 よって,解は 0≤0<- π 2' 4"<0≤T にする 9 π 4 +90 ah 90 YA 1 O yA √2 0 4 7 2 6 6 YA 1 ---- y) 9 (S) A √2 4 0 π (v3.1) 0 1X -y=sint 5 (1,1) 一π 9 基本例 次の関数 2, 0≤6 (1) y=c 指針 解答 月 (1)