例題65.1 x≠0という前提が必要なのは、真数条件よりx>0 つまりx≠0ということですか？ また例題65.2でx=0のときを考えているのは何故なのでしょうか？？

114 基本 例題 65 逆関数の微分法,x" (カは有理数)の導関数 0000 E (1) y=x3の逆関数の導関数を求めよ。 (2) y=x+3x の逆関数を g(x) とするとき, 微分係数 g' (0) を求めよ。 (3)次の関数を微分せよ。) (ア) y=x3 岡の (イ)y=√x2+3 /p.110 基本事項 指針 (1), (2) 逆関数の微分法の公式 dy 1 を利用して計算する。 dx dx dy (1) y=xの逆関数は x=y (すなわち y=xl xをyの関数とみてyで微分し、最後にy をx の関数で表す。 (2) y=g(x) として, (1) と同様にg'(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。 →x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。 (3) → (x)' = pxｶ-1 有理数のとき (1) y=x3の逆関数は,x=yを満たす。 を利用。 (1) y=x3の逆 別解 は y=x33 で 解答 dx よって =3y2 dy ゆえに、x=0のとき dy 1 1 = dx dx dy == 1 === 1 3y2 3(v³) 3x (2) y=g(x) とすると,条件から x=y+3y たされる。 ①から dy 11 1 = = dx dx 3y2+3 g'(x)=. x=0のとき dy 2 1 3 IC dy=(x)=x+ ①が満 関数 f(x) とその逆関 y+3y=0 すなわち y (y2+3)=0 y2+3>0であるから したがって y=0 1 1 g'(0) = 302+3 3 f'(x) について y=f(x) ⇔x=f-1(y の関係があること(p.24 基本事項20) に注意。

解き方がネットで調べても分かりません🙇🏻‍♀️お願いします

f(x)=x3x²+x+1 のx=2における微分係数f121は?

次の青いところなぜxからtへと変わっているのでしょうか？

曲線 C:y=x-x上の点を T(t, ピ-t) とする. (1)点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2)点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a, b のみたす関係式 を求めよ. ただし, a > 0, b≠ α-a とする. (3)(2)のとき,2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ. (2)3次関数のグラフに引ける接線の本数は, 接点の個数と一致し 精講 ます. だから, (1) の接線にA(a, b) を代入してできるtの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注で学習済みです. (3)未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。 1つは(2)で求めてあるので, あと1つですが, それが 「接線が直交する」 を式にしたものです. 接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから, 2つの接点における 微分係数の積 = -1 と考えて式を作ります。 解答 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=32-1 よって, Tにおける接線は, y-(t-t)=(3-1)(x-t) . y=(3t2-1)x-2t3 極値をとるために th 点Aを通る接線が2本あ ⇒接点が2個ある 185 接点が2個ある時の3 極大値 or 極小値が C よって 極大値×極小値 = 0 7

なぜ微分係数の定義を使うという考えになるのですか？また、なぜ自分の回答はダメなのですか？

RAP.124) 曲線y=logx上の異なる2点A(a, loga),B(b, logb) (a<b)におけるこの曲線の 法線をそれぞれ ZA, IB とし, ZAとの交点をP とする. (1) Pの座標を a, b で表せ. 1 (2) bをαに限りなく近づけるとき,点Pのx座標およびy座標の極限をそれぞれ求 めよ. 曲点( 50 (3) a=1,6=2のとき, 曲線y=logxと2直線 ZA, I で囲まれる部分の面積を求めよ. SECTI (大生暦京) LA け ( (名城大・理工)(

この問題の(1)についてなのですが、x,yが負の場合については考えなくていいのでしょうか?

EX ②48 ( 基本例題 65 逆関数の微分法,x (p は有理数)の導関数 (1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。 0000 (2) y=x3+3xの逆関数をg(x) とするとき, 微分係数g'(0) を求めよ。 (3)次の関数を微分せよ。 (ア) y=2x3 (イ) y=√x2+3 p.110 基本事項 指針 (1), (2) 逆関数の微分法の公式 dy 1 = dx dx を利用して計算する。 dy ②49 (1) y=xの逆関数は x=y(すなわち y=x1) xをyの関数とみてyで微分し、最後にy を xの関数で表す。 (2)y=g(x)として (1) と同様にg'(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。 →x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。 30 (3)が有理数のとき (x")'=pxcb-1 (1) y=x3の逆関数は, x=y3 を満たす。 解答 dx よって =3v2 dy を利用。 50 別解 (1) y=xの逆関 は y=xで ゆえに、x=0のとき dy 1 dx = dx dy = 1 3y2 = 1 3(1³) 3 || 1 13 = || 2 3x3 : 23 1 = dy dx=(x3): 35

1番最後の 二 の解説、 なぜ極小値が0だったらg（1）=0 になるんですか？🙇‍♂️ g´（1）=0なのはわかるんですが

数学Ⅱ 数学B 数学 C [2] 4. を実とし(x)+x'+x+c とする。 座標平面上の曲線 (x)とする。 g(x)は次の二つの条件 (1),(II) をともに満たすとする。 (1) (x)はx=1で極小値0をとる。 b= ナ g(x)はx=1で極小値をとるから, である。 ツ よって, α テト さらに,極小値が0であるから, c= である。 (Ⅱ) 曲線D 上に, Dの接線の傾きが - となる接点がただ一つ存在する。 ツ の解答群 (x)ス x²+ 2 ax+b である。 (1)より、関数(x)はxmlで極値をとるから '(1) 1 b=-(2a+) タ が成り立つ。 よりの方程式(x)=-1/3の判別式は チ である。 チ の解答群 0 A ②正 すなわち ① (x)の符号はx=1の前後で負から正に変わる (x)の符号はx=1の前後で正から負に変わる ②g'(x)の符号はx=1の前後で負から正に変わる ③ g'(x)の符号はx1の前後で正から負に変わる g'(x). 3x+2x+6= 39-2a-3) b -60-9-b 426ax+36+10 9206ax-60-8:0

(1)の答えで、 2枚目の写真の左の式を使っても大丈夫ですか？

3 定義、公式の証明- (1) 関数f(x)のx=αにおける微分係数の定義を述べよ。( (2) 関数f(x), g(x) が微分可能であるとする. 積の微分公式 {f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を証明せよ. 宮崎大 (3) f(x)=x"(n=1, 2, 3, に対し,f'(x)=nzn-1であることを,数学的帰納法により IS (上智大理工) せ 定義をしっかり押さえておく 「連続」「微分可能」の定義をしっかり押さえておこう(p.34) 連続とはグラフがつながっている, 微分可能とはグラフがなめらか,というグラフのイメージをきち んと定式化したものである.なお,r=αで微分可能であれば, x=αで連続である.これは, f(ath)-f(a) lim{f(a+h)-f(a)}=lim ・h=f' (a) •0=0 ∴ limf(a+h)=f(a) h→0 h→0 h→0 と示すことができる. 逆は成り立たない (反例は,f(x)=|x-al). 公式を証明できるようにしておく 教科書に載っている公式を証明せよ,という意表をついた出題 もある。定義から微分の公式を証明させる問題が多いので,教科書で確認しておこう)() 解答する (9) + f(a+h)-f(a) (1) 極限値lim- h→0 x=αにおける微分係数といい、f'(α) と書く. が存在するとき,この値を関数f(x) の この極限値が存在するとき,関数 f(x)はx=αで微分可能である という. (2) f (x+h)g(x+h)-f(x)g(x) ①

(1)の問題で下のように解いたのですが間違っていました。 何が間違っているのでしょうか？

207 ■it(リミット, ラテン語 して(ただし, x=a に と異なる値をとりなが (x)が限りなくαに近 =a =d 92 微分係数 1 xが1から3まで変わる間のf(x)=x2+ax+1 の平均変化率が f'(a) に等しいとき,αの値を求めよ. (9+39+1)-(1+a+1) (工学院大) (2) 92 (1) 2 (3) 平均変化率 (a), f'(a) * 9+30+1-1-a-l A 2 (弘前大) 精 HOT f(x) 関数 わると f(a) F の変 をyと f(0) IM a+4 xtax+1 a2+a2+l a+4= 2 a 2+ 1 4a 39=4 4 a 4 a = y=f(x) B Ay A a Ax- b x をxがa ス 化率(あ までの平均変化率 いいます f(a) a 0-(1-0) mil 文字ロ 4 (デル)は,差を意味する Difference の頭 における微分係数

この問題の2番の解説で、左では曲線上の接点の方程式をもとめてるのにかかわらず、右の落とし穴 では、接点とするのがダメと書いてあるのですがどういうことでしょうか？ 何を求めるのか想像出来なくて… 図など書いて解説してくださったらありがたいです！

「THE step 1 例題で鉄則をつかむ 例題1 曲線y=x-9r+1について (1) 接線の傾きが3のとき, 接点の座標は ア イウ)と(エオ カキであり、 それぞれの接点における接線の方程式は, y = 3.r-クケとy=3x+ コサである。 (2) 点 (1-3)を通る接線の方程式を求めると,y=シス x+セである。

微分係数と導関数、接線の方程式に関連する問題です。点Pにおける接線の傾きは2tなのに、なぜ法線の傾きは－1/2tになるのでしょうか。

2t0 とするとき, 曲線 C: y=x上の点P(t, f)におけるCの法線 (P を通り,P における Cの接線と直交する直線) は,点(-2, そのとき,tの値をすべて求めよ。 4) を通ると いう。 (小樽商科大)★★ とおい