整数問題です。赤線の部分が分かりません…なぜ急に2が出てきたのでしょうか。 教えてください🙏🙇‍♀️

2 [2019 信州大] (1) 2-1が3で割り切れるような自然数n をすべて求めよ。 (2) n-1が3で割り切れるような自然数n をすべて求めよ。 (1) (1) n=19&z=1 n=299€=3 n=3のとも =7 h = 4art = 15 $₂11=2 marz こ # (1) 自然数nをu=2m, 2m-l(自然数人とおしく、 (il n = 2m98z 2"-1=22m - 1 = 4m - 1 ここで4=11mod31より 24- | = 4m_1 = 1 m² | = 1-1=0 ( mod3) (iil n = 2m-1982 24-1 = 22m² 1 | = 2.2² (m-111 2-1 = 2.2 2(m-1/ - 1 = 2.4" = 1 = 2.1 M-1-1 = | (mod 3)

(2)の蛍光ペンでひいたとこは、係数比較法でもありですか？

こでは 。 +3)', x)' 2 Ty をxで微分 1--- +1) それぞ 例題156 第2次導関数と等式 「基 (1) y=log(1+cosx) のとき, 等式y" +2e-12 = 0 を証明せよ。 (2) y=esinx に対して, y" = ay+by となるような定数α, bの値を求めよ。 (1) 信州大 (2) 駒澤大] 基本155 指針 第2次導関数y" を求めるには, まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに の恒等式である。 (1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 xで表すには,等式 elogp=pを利用する。 (2) y',y" を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。 解答 (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' y'=2・ 1+cosx って y" = ゆえに また, 1/2 =log(1+cosx) であるから 2 ゆえに 2e-2=- 1+cos x 2{cos x(1+cos x)—sinx(−sinx)} a13 (1+cosx) 2(1+cosx) (1+cos x)² 2 また,x= y e2 2sinx 1+cosx y" +2e=¾ = _____ 2 =e²x(3sinx+4cosx)・ 2 1+cosx 2 + 1+cos x 1+cosx よって (2) y=2e2*sinx+excosx=e (2sinx+cosx) y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx) 2 x=2を代入して ež=1+cosx. 7 = 0 + xS)nia! =e2x{(a+26)sinx+bcosx}: 00000 y'=ay+by' に ① ② を代入して e2x (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③ ③はxの恒等式であるから, x=0を代入して 4=b 3e=e¹(a+2b) = 1700430 log M = klogM なお、-1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 $30 ◄sin²x+cos²x=1 ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) = (___ (2) elogp=pを利用すると | alog(1+cosx)=1+cosx 267 E これを解いて a=-5,6=4 このとき (③の右辺)=e^x{(-5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認。 したがって CHO a=-5, b=4 5章 (e) (2 sinx+cosx)} +e2*(2sinx+cosx) (S) 2 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数 [参考 (2) のy=ay+by' の ように、未知の関数の導関数 を含む等式を微分方程式と いう (詳しくは p. 473 参照)。 ③ が恒等式③にx=0, を代入しても成り立つ。 (>) B 練習 (1) y=log(x+√x2+1)のとき, 等式(x2+1)y"+xy'=0を証明せよ。 ③156 (2) y=e2x+ex がy"+ay'+by= 0 を満たすとき,定数 α, 6 の値を求めよ。 (1) 首都大東京, (2) 大阪工大] Op.275 EX131~133 #20 [3] [0]

対数不等式に関する問題（イ）です。 青い部分のx>1,0<x<1になる理由がよく分からないです。 ③のとき、例えば(x=1/2 ,y=1/4)でもtは条件を満たすのに【xが１より大きい】という条件が追加されてる理由がよく分からないです。 どなたか丁寧に教えてください🙇🏼‍♂️

6 対数不等式 (ア) 不等式10g2 (-x) 1-log/ (2x+11) を解け. (イ) logzy+2logyz≦3を満たす点(x,y) の存在する領域を図示せよ。 対数方程式と同様 対数の数の大小 logap<logag が成り立つ指数のときと同様に, 0<a<1のとき, 不等号の向きが逆転することに注意しよう. 方程式と同様の方針で扱う. 2つの正の数, q について, jp < g (a >1のとき) [p>g (0<a<1のとき ■解答量 (ア) 真数条件から, 5-x> 0, 2x+11>0 log1 (2x+11)=- 4 log2 (-) log2 (2x+11) log₂ (2x+11) 2 082 (12) log2 .. logy=t とおくと, logy = YA :. 11 -<x<5 2 01. 1+1/log2 (2x+11) +12/22082( log2 (5-x)²≤log₂ 22 (2x+11) ²-18x-19≤0 これと①により、-1≦x<5 (イ)底の条件と真数条件により, x>0,x≠1,y>0,y≠1 log 0 (x+1)(x-19)≦0 -<x<5 .··········· y=logax 1 により, 与えられた不等式は .. 2log₂ (5-x) ≤2+log₂ (2x+11) (5-x)²≤4(2x+11) (t-1) (t-2) a>1 : -1≤x≤19 1 であるから,与不等式は, t log.xy ≤0 y x y=x2 t+ ≤3 t²-3t+2 t ... ≤0 t 1°t>0のとき, (t-1)(t-2) ≧0を解くと, 1≦t≦2 2°t<0のとき, t-1)(-2)≧0を解くと, t<0 よって②のとき, 1≦t≦2 またはt < 0 1≦logxy≦2･････ ③ または logy <0 ここで, ①にも注意すると, ③ は, ( 注 ) [x>1, x≤y≤x²] または「0<x<1, rº≦y≦x と同値であり、④は, 「x> 1,0<y<1」 または 「0<x<1, y>1」 と同値であるから,図示をすると網目部 (境界は実線のみ含む)となる. 注1≦logy≦2log l≦logy≦logxx2 y 0 y=x (東北学院大・文系) (信州大教) ① 以下, ① のもとで考える. y=logar 1 0<a<1 2+log2 (2x+11) =log222+log2 (2+11) B (t-1)(t-2) 0 [ ② は次のように考えると手早く 「解ける] ② の左辺は,分母か分子 を0にする t = 0, 1,2の前後で 符号変化する.t>2のとき, ② の左辺が正であることに注意す ると,②≦0 となるのは下図の網 目部のときである. 0 t 1 2

接線の方程式を出すのに、まず(a.a-1)を通るのでy＝2a(X－a)+a-1 これにに2点Q1(s，s^2)とQ2(t.t^2)を通るやり方では出来ませんか？ 教えてください

演習問題 120 直線y=x-1 上の点P(a,b) から放物線y=x² に2本の接線をひき, 接点を Q1 Q2 とする. 線分 Q1 Q2 と放物線で囲まれた図形の面積をSとする. (1) Sをaで表せ. (2) Sを最小にするαの値およびSの最小値を求めよ. (信州大)

？の部分がよく分かりません。誰か分かりやすく説明お願いします

35 方程式 α.2*x=0が異なる3つの解をもつような実数 a をすべて求めよ. (信州大) 思考のひもとき 1. f(x) =kの解は, y=f(x)とy=kの共有点のx座標となる. 2 (a*)' = a* log a 解答 α・2"x2 = 0 ....① とする. 20 だから ①より x² 2* ①の実数解 の共有点のx座標であるから y=aとy=2 ①が異なる3つの解をもつ 7² ⇒ y=a とy=mが異なる3点で交わる 2.*

(2)π/2を代入しなくても③から恒等式で求めてもいいですか？

基本 例題 156 第2次導関数と等式 (1) y=log(1+cosx)" のとき, 等式y" +2e-x=0を証明せよ。 (2) y=euxsinx に対して, y" = ay + by' となるような定数a,bの値を求めよ 10) [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本 155 指針 第2次導関数 y” を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに の恒等式である。 (1) y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また,e-xで表すには、等式 elogp=pを利用する。 (2) y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。 解答 (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' 1+cosx よって よって y'=2･ y" == 2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)} +(1+cos x)² x£)aies 2 1+cosx 2(1+cosx) (1+cosx) また,=log(1+cosx) であるから 2 ゆえに 2e-2=2 y 1+cos x π 2 e2 y"+2e=¾=—— 2 また, x= 39 てもこれを解いて == 1+cos x 2sinx 1+cosx y"=ay+by' に ①, ② を代入して e2x ...... を代入して +A + (2)y'=2e²sinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx) y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx) =e2x(3sinx+4cosx) ① ゆえに ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) =`(²x) =e2x{(a+26)sinx+bcosx} ež=1+cos x 2 1+cos x ③はxの恒等式であるから, x=0を代入して 3e=e" (a+26) =0 【logMk=klogM なお,-1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 [参考 (2) のy"=ay+by' ように、未知の関数の導 を含む等式を微分方程式 (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③ いう(詳しくは p.473 参照 4=b ③が恒等式③に ◄sin²x+cos²x=1 CHURO530 11 [elogp=を利用すると alog(1+cosx)=1+cosx logze REC (e²)' (2 sinx+cos x) +ex (2 sinx+cos.x)' 2 を代入しても成り a=-5, b=4 このとき (③の右辺)=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認。 したがって a=-5, 6=4

70番です！思考のひもときのところでなぜ最小値を求めるのですか？最小値を求めるとなぜa,bの大小関係が分かるのですか？教えて下さい🙇‍♂️

70 a,b は正の数とする すべてのx>0 に対して つときa,bの関係を求めよ. 思考のひもとき 1. x>0 に対して, f(x) の最小値がmのとき x>0 に対して f(x) ≧0 m≧0 2x2+(3-a)x-2a x³ a>0より 2x² (3-a)x 2a (①の左辺)= + xxx f'(t)=0 とすると -≤b 1 =t とすると (x>0よりt> 0) ②は x ->0 a (2) ME ikkil 2x2+(3-a)x-2a .3. ..... t= =2 (1)+(3-4 (1)-20 (1) ② ² -2al x x AX² 23co (8-)1 36₂ 「すべてのx>0 に対して①が成り立つ｣ Crpin ⇔ 「すべてのt> 0に対して2t+ (3-a)t2-2at ≦b が成り立つ」 ⇔ 「すべてのt> 0に対して2at-(3-a)t-2t+b≧0 が成り立つ｣ f(t)=2at-(3-a)t2-2t+bとするとf(t) をtで微分して f'(t)=6at²-2(3-a)t-2-2{3at²-(3-a)t-1)=2(3t+1)(at-1) 1 1 3' a 2t+(3a)t2-2at3 ...... ②' -≦b が成り立 (信州大)

蛍光ペンで引いている部分が分かりません。 OAベクトルとOPベクトルの内積が6−Sと表せるのはなぜですか。

★234 平面上において, 原点Oと2点A(1, 1), B(2, 1) に対して, ベクトル OP=sOA+tOB を考える。 定数sとtが条件 0≦s, 0≦t, s+t=2 を満たしながら変わるとき, 点Pの描く図 形を図示せよ。また,内積 OA･OP の最大値と最小値を求めよ。 [13 信州大 ・ 改]

(2)を数値代入ではなく係数比較でやったんですけど、それでもいいですか？

基本例題156 第2次導関数と等式 (1) y=log(1+cosx) のとき, 等式 y' +2e-1/2 = 0 を証明せよ。 2x (2) y = esinx に対して, y" = ay+by となるような定数α, 6の値を求めよ。 (1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本155 指針 第2次導関数 y” を求めるには、 まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに の恒等式である。 (1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また,e-xxで表すには、等式 を利用する。 (2) y',y" を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。 解答 (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' y'=2･ 1+cosx よって 「明したい また, y"=_ ゆえに [1] =) 2{cosx(1+cosx)−sinx(sinx)} __ ; (1+cosx) 2(1+cosx) (1+cos x)² よって+2 Y = log(1+cosx) であるから 2 2 1+cos x 2e-1/12 = 2 y e2 2sinx 1+cosx 1+cos x 2 1+cosx ...... T また, x= を代入して 2 _e=1+cosx (2) y=2e²sinx+e2xcosx=e2x (2sinx+cosx) y"=2e²x (2 sinx+cos x)+e²x (2 cosx-sinx) 2 1+cos x =e2x(3sinx+4cosx) ゆえにのay+by'=aeusinx+be2x(2sinx+cosx)= =e2x{(a+26)sinx+bcosx} (2) y=ay+by' に ① ② を代入して ex (3 ③はxの恒等式であるから, x=0を代入して (3e¹=e¹(a+26) = 0 { sinx+4cosx)=e²x{(a+2b)sinx+bcosx} .... 4=b 00000 <log M = klog M なお、-1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 sin²x+cos²x=1 elogp=pを利用すると elog(1+cosx)=1+cosx 267 [] (²) (2 sinx+cosx)) \ +e2(2sinx+cosx) (S) これを解いて α=-5,b=4 このとき (③の右辺)=e^{(−5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認 CHUO したがって a=-5,6=4 1 2 高次導関数 関数のいろいろな表し方と導関数 5章 22 [参考] (2) のy=ay+by' の ように、未知の関数の導関数 を含む等式を微分方程式と いう(詳しくは p. 473 参照)。 ③が恒等式⇒③にx=0, π を代入しても成り立つ。 2 [3][1 練習 (1) y=log(x+√x2+1) のとき, 等式(x+1)y"+xy = 0 を証明せよ。 3 156 (2) yeaste* y " +ay'+by=0 を満たすとき,定数a,b の値を求めよ。 2010 (1) 首都大東京, (2) 大阪工大] (p.275 EX131~1330

どこが違っているのか教えていただけますか？答えは85/256です。2番です。よろしくお願いします！

□ 338 点Pは正三角形 ABCの辺に沿って頂点を移動できる。このとき,次の 操作を考える。 出い同 (操作) 2枚の硬貨を同時に投げる。 表が2枚出れば, 点Pは時計回りに 隣の頂点に動く。表が1枚だけ出れば,点Pは反時計回りに隣の頂点に 動く。 表が出なければ, 点Pは動かない。 この操作を続けて行うとき、 次の問いに答えよ。 ただし, 点Pははじめに 頂点Aにあるとする。 Panelleno (1) 2回目の操作終了時に, 点Pが頂点Aにある確率を求めよ。 (2) 4回目の操作終了時に, 点Pが頂点Aにある確率を求めよ。 [ 信州大 ]