Question

サキイカ

70番です！思考のひもときのところでなぜ最小値を求めるのですか？最小値を求めるとなぜa,bの大小関係が分かるのですか？教えて下さい🙇‍♂️

70
a,b は正の数とする すべてのx>0 に対して
つときa,bの関係を求めよ.
思考のひもとき
1. x>0 に対して, f(x) の最小値がmのとき
x>0 に対して f(x) ≧0
m≧0
2x2+(3-a)x-2a
x³
a>0より
2x² (3-a)x 2a
(①の左辺)= +
xxx
f'(t)=0 とすると
-≤b
1
=t とすると (x>0よりt> 0) ②は
x
->0
a
(2) ME ikkil
2x2+(3-a)x-2a
.3.
.....
t=
=2 (1)+(3-4 (1)-20 (1) ②
²
-2al
x
x
AX² 23co (8-)1 36₂
「すべてのx>0 に対して①が成り立つ｣
Crpin
⇔ 「すべてのt> 0に対して2t+ (3-a)t2-2at ≦b が成り立つ」
⇔ 「すべてのt> 0に対して2at-(3-a)t-2t+b≧0 が成り立つ｣
f(t)=2at-(3-a)t2-2t+bとするとf(t) をtで微分して
f'(t)=6at²-2(3-a)t-2-2{3at²-(3-a)t-1)=2(3t+1)(at-1)
1 1
3'
a
2t+(3a)t2-2at3 ...... ②'
-≦b が成り立
(信州大)

かせな
tの変域:t>0 における増減表はS-
1
a
t (0)
f'(t)
f(t).
1
よって、t>0 において, f(t) はt=
a
20 +
極小
2
= (a− 1) = 1/2 ² + b
a² a
③よりt>0のときf(t)>0 より
解説
1° 求める条件は
:. bat 20
a+1
a²
a
(-)-20 (1)-(3-a)(²)-2 (¹²) +- (2-3 + a)(²)-² + b
2a
+6=(2-
+b
(D&__x(8-5) S
のとき最小となる.
a-1-2a (-)
a²
(12) 20
a+1
:. beatl
a²
² + b = b = a
2x2+(3-a)x-2a
x³
a+1 (5)
a².
x>0のときの
の最大値をM(α) とすれば,
SOLIST!
HON
Sain15
M(α) ≦b ということである. M (a) が簡単に求まればよいが,これを直接求めよう
とすると数Ⅲの商の微分法が必要となる (別解参照) 解答は分母が単項式なので、割
1
x
り算を実行して -=t と置き換えることにより3次関数に帰着させている.
(0)
2° -=t と置き換えることにより、条件がやや変化する. 結局, t> 0における f(t)
x
200
の最小値を求め、それがm≧0を満たす条件を考える.
7
3° x>0より -=t>0であることと,f'(t)=0の解がt=-
x
3' a
であり, a>0より
ty=
>0 であることに注意をして増減表を書いて最小値を求めている .

微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GL

与えられた不等式の左辺をf(x)とします.
f(x)≦b ⇔ b-f(x)≧0
であり, 左辺をg(x)とおくと, 満たすべき条件は
x>0において, g(x)≧0
となることです.
x>0におけるg(x)の最小値をmとすると, この条件はm≧0と同値です. (必要性, 十分性は簡単に示せます. 非自明に感じるのであれば証明してみてください)
よって, mを求めれば満たすべき条件が(a, bの式で)書けます.

サキイカ

なるほど！理解しました！分かりやすい回答ありがとうございます😊