Question

ゆー

(2)を数値代入ではなく係数比較でやったんですけど、それでもいいですか？

基本例題156 第2次導関数と等式
(1) y=log(1+cosx) のとき, 等式 y' +2e-1/2 = 0 を証明せよ。
2x
(2) y = esinx に対して, y" = ay+by となるような定数α, 6の値を求めよ。
(1) 信州大, (2) 駒澤大]
基本155
指針 第2次導関数 y” を求めるには、 まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに
の恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また,e-xxで表すには、等式
を利用する。
(2) y',y" を求めて与式に代入し、数値代入法を用いる。
解答
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
y'=2･
1+cosx
よって
「明したい
また,
y"=_
ゆえに
[1] =)
2{cosx(1+cosx)−sinx(sinx)}
__ ; (1+cosx)
2(1+cosx)
(1+cos x)²
よって+2
Y = log(1+cosx) であるから
2
2
1+cos x
2e-1/12 =
2
y
e2
2sinx
1+cosx
1+cos x
2
1+cosx
......
T
また, x= を代入して
2
_e=1+cosx
(2) y=2e²sinx+e2xcosx=e2x (2sinx+cosx)
y"=2e²x (2 sinx+cos x)+e²x (2 cosx-sinx)
2
1+cos x
=e2x(3sinx+4cosx)
ゆえにのay+by'=aeusinx+be2x(2sinx+cosx)=
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
(2)
y=ay+by' に ① ② を代入して
ex (3
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
(3e¹=e¹(a+26)
= 0
{
sinx+4cosx)=e²x{(a+2b)sinx+bcosx} ....
4=b
00000
<log M = klog M
なお、-1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
sin²x+cos²x=1
elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
267
[]
(²) (2 sinx+cosx))
\ +e2(2sinx+cosx) (S)
これを解いて α=-5,b=4 このとき
(③の右辺)=e^{(−5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認
CHUO
したがって
a=-5,6=4
1 2 高次導関数 関数のいろいろな表し方と導関数
5章
22
[参考] (2) のy=ay+by' の
ように、未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式と
いう(詳しくは p. 473 参照)。
③が恒等式⇒③にx=0,
π を代入しても成り立つ。
2
[3][1
練習
(1) y=log(x+√x2+1) のとき, 等式(x+1)y"+xy = 0 を証明せよ。
3
156 (2) yeaste* y " +ay'+by=0 を満たすとき,定数a,b の値を求めよ。
2010 (1) 首都大東京, (2) 大阪工大] (p.275 EX131~1330

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なむる

「asinx+bcosx=csinx+dcosxがxについての恒等式ならば、a=cかつb=dが成り立つ」
という命題が成り立つかは自明ではないので、何もなしに唐突に係数比較するのはまずいと思います。(もちろん逆は成り立ちます。)

この命題が成り立つかどうかは自分は知らないですが、もし成り立つならば証明は必須だと思います。

ゆー

二次方程式などの簡単なものなら係数比較でもいいけど、サインコサインが入ってる状態でそれが成り立つとは限らないからということであっていますか？

また数値代入法のほうはどっちがが上手く消せるのを探して代入していく感じですか？

なむる

はい、その通りです。
高校数学の教科書には、
「整式=整式」が恒等式ならば、左辺と右辺で同じ次数の項の係数が等しいことが記述されています。(勿論その逆も成り立つ)

しかし、それ以外については高校数学では触れられていません。もし「整式=整式」以外の条件で係数比較が使いたければ、その証明をしましょう。

数値代入法については仰る通りです。上手い数値を代入することで係数を求めましょう。その際、画像のように逆の確認も忘れないようにしましょう。

ゆー

ありがとうございます！
とても分かりやすかったです！