a+b=log₁₀2+ log₁₀5=1になる理由がわかりません！ 教えて下さい！

69 対数の計算(I) 次の各式の値を計算せよ. 10 2 (1) loga 40 +10g2 1/23 - 10ga /7/3 10g2 -- log2 9 5 | 精講 (2) 210g 12-1/2 10g2 080-510ga√/3 4 (3) (10g102)+(10g105) +10g105・10g10 8 10 9 (1) 10g2 +10g2 対数は,1とか2とか普通に使っている数字を「10ga. 」 の形で表す 新しい数の表現方法です. 9 なぜ、このようなワケのわからない表し方をする必要があるのかと 思う人もいるでしょうが,まずは慣れることです.そのためには,ある程度の 量をこなすことが必要です.何度も何度も間違いながら演習をくりかえし、自 然に使えるようになるまでがんばることです。 <基本性質〉 a>0, a=1, x>0 のとき, I. y=logax x = α (定義) II. loga a=1, loga 1=0 注 y=logax において, α を底, xを真数と呼びます. <計算公式〉 a>0, a ¥1, M > 0, N >0 のとき, I. logaM+logaN=loga MN M ⅡI. loga M-logaN=10ga N III. loga Me=ploga Mp: 実数) 解答 3-5 3 =log: (10) =10g2 9 5 3 (2) 2log2 12- 4 -10g2 10 3 =10g2 × X |=log21=0 9 5 12 653 35 37 360* 2²5*3-*--(+) 23 SAS $-<1- .243) (<) S-X 3>3 (0<1) 1= (2) .")=²(¹5) 8 log2-51og2√3 底はすでにそろって いる 計算公式 Ⅰ, I ◆基本性質ⅡI このままでは計算公 式 I, ⅡIは使えない =2log222.3- 注 4 =2(210gx2+logz3)-1/(3-210g43) 2/210g:3 =4+2log₂3-- -4-3-13 =4- (log:8-log:9)-log:30 3+1og23-log23 5 ポイント 4 注 このように, 真数を素数の積の形で表し, 計算公式Ⅰ を利用して できるだけ小さくするところがコツです。 川 (3) 10g102=a, log105=6 とおくと | 5t=a³ + b³ +3ab130 =(a+b)3-3ab(a+b) +3ab 演習問題 69 <log28=3 ここで, a+b=10g102+10g105=1 だから 与式=1-3ab+3ab=1 注 対数計算には,積に関する公式がありません。 たとえば, 10g10 3.10g 10 2 はこれ以上簡単になりません。 底がそろっていないときは,次の70で学びます. log 108=3logio2 対数計算は, ① 底をそろえて ② 真数を小さくして 次の公式を用いる I. logaM+logaN=loga MN M II. loga M-logaN=10ga N II. loga Me=ploga M 115 次の各式の値を計算せよ. Cul beyol (1)(10g102)+(10g105)(10g104)+(10g105) 2 (2) 10g(√2+√3-√2-√3) Pigok aol Eegol 第5章

このような答えでも正解ですか？？ 解答とは違う答え方です。

171〜 □ 395a > 0, a = 1,M>0でnは正の整数とする。 loga M = p とおいて,教 p.163問4 次の等式を証明せよ。 logan/M = 1 - loga M n

数iiの対数関数です。赤線の部分が どうしてこうなるのか分かりません。 どなたか教えてください‼️

例題 182 対数の計算 [2] 次の値を求めよ。 (1) logs3.logy 25 ・logs 7.log49 16 (3) (loga 25+ logg 5) (log5 9+ log253) 思考プロセス << Action 対数の計算は,底をそろえて1つの対数にまとめよ 公式の利用 底をそろえるためには, 底の変換公式を用いる。 logeb logab= logca 底をそろえるときは, 小さい底にそろえると, loga M'rlogaM を利用しやすい。 解 (1) (与式) = log23. (2) (与式)= = = =log23. 2log22= 2 log2 9 log24 =-2 = (3) (与式)=(10g,25+ =(210g35+ 5 2log25 210g2 3 2 log2 25 log27 log2 16 log29 log25 log249 - log3 5. (別解) (与式)=(210g5+ -log2 12= log3 5 2 10g 510gs5 logs 9 log, 9. log35 2 log35 log27 4log22 log25 210g27 log35 5 25 2log35 4 (2) log49-log2 12 2log23 _ (2+log23) 2 logs 9. 5) (210 ( + + 2log53+ log, 3 logs 25 1 2logs5 logs 3 log5 25 = - (210gs5+ /1/log: 5 (210g/3+1/2/10g13) ) 2log3 log5 2 5 2 loga 5.logs 3 = 25loga 5. 2 4 log3 3 log3 5 = 25 4 例題18 底がaである対数を 底がcである対数になおす。 底が異なるから、底の変 換公式を用いて底を2に そろえる｡ logab= logeb loge a 底を2にそろえる。 log212 = logz (223) = log2 22 + log23 =2+log23 底を3にそろえる。 log39 = log3 3² = 210g33= 2 前の()内は底を3 後の( )内は底を5 そろえる。

対数方程式は、どうして写真のようにならないのですか？ logaM+logaN=logaMNになれるなら左辺のままでもいいんじゃないかと思いました。けれど模範解答と同じ答えも得られないのでダメなのかと混乱しています。 よく分からないので教えていただきたいです。

x> 1 10g3(x-2)+1083(2x-7)=2 10gx(x-2)+10g3(2x-171=10033² 2-2+22-7=3² 3x 2=6 18 7 これは北をみたす。

(2)でなぜ47桁でなく48桁になるのかが分かりません

286 基本 例題 183 常用対数と不等式 (9/23x11/1511/2011/23090 10gi03=0.4771 とする。 福岡工 (1) 3" が 10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。 (2) 3 進法で表すと 100 桁の自然数Nを, 10進法で表すと何桁の数になるか。 基本182 指針 (1) まず 3” が10桁の数であるということを不等式で表す。 (2) 進数Nの桁数の問題 不等式 数IN < 数の形に表す ・・・・・･ 改訂版チャート式基礎からの数学A 基本例題142参照 3100-1≤N<3100...... に従って、問題の条件を不等式で表すと 10進法で表したときの桁数を求めるには, 不等式①から, 10" 'MN-10"の形を導き たい。そこで,不等式 ①の各辺の常用対数をとる。 >2杯で考えると10≦X<10 10x210 解答 Nがn桁の整数 図 (1) 3” が10桁の数であるとき 10°≦31010 10-¹≤N<10 各辺の常用対数をとると 9≤n log103<10 ゆえに 9 ≦0.4771n<10 9 10 よって ≤n< 0.4771 0.4771 したがって 18.8..... ≦n< 20.9････ この不等式を満たす自然 は, 19,20であるが, この不等式を満たす最小の自然数nは n=19 「最小の」という条件があ (2) Nは3進法で表すと100 桁の自然数であるから るので, n=19 が解。 3100-1N 3100 すなわち 399 ≦N < 3100 各辺の常用対数をとると 9910g 10 310g10N <10010g103 _99×0.4771 ≦log10N <100×0.4771 ゆえに すなわち 47.2329 ≦ log10 N <47.71 よって 1047.2329≦N < 1047.71 ) ゆえに 1047 <N<1048 100.4771=3 <p=logaMa=M したがって,Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。 別解 10g103=0.4771 から ゆえに, 3% ≦N < 3100 から (100.4771) 99 ≤N<(100.4771) 100 よって 1047.2329 ≦N < 1047.71 ゆえに 1047 <N < 1048 したがって,Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。 練習log102=0.3010, 10g103=0.4771 とする。 ②183 72 を小数で表すとき,小数第3位に初めて0でない数字が現れるよう 自然数nは何個あるか｡ (2) logs 2 の値を求めよ。ただし, 小数第3位を四捨五入せよ。またこの結果 〔類北里 利用して 410 を進法で 110°=3 ABS 比べ 初め 109,10 指針 解 現在の とする 両辺の ここ よっ ゆえ した 練習 18-

赤線の部分、どのように変換しているのでしょうか？？logです。 基礎がわからない状況なので詳しく教えていただきたいです。(公式を見ましたがどこに当てはまるのか何を見ればいいのか分かりませんでした) よろしくお願いします！

この例題のように, logaMM=loga N の形を導けないタイプではに なお,(2人では、底に変数xがあるから,「底>0.底キ1」の条件 242 基本例題 159 対数方程式の解法 (2) (2) log2x-21ogx4=2 次の方程式を解け。 (1) (logs.x)?-21ogax-3=0 CHARTOSOLUTION 『(loga.x)=0 の形の方程式 おき換え[log.x=t] で Lの方程式へ 変域に注意。 log.x=t とおく。 このとき, 変数のおき換え log.x=t とおくと tは任意の実数の値をとりうる よって, logax=t のとき, x=3"が解となる。 (1) log.x=t とおくと, tの2次方程式の問題となる。 注意、 解答 (1) 真数は正であるから log.x=t とおくと ピー2t-3=0 *慣れ よって に1o ゆえに t=-1, 3 すなわち log3x=-1, 3 する。 したがって x=3-1, 3° すなわち *= 27 これらは①を満たすから, 求める解である。 (2) 対数の真数, 底の条件から、立x>0 かつ xキ1 log24 log2.x log2.x *真数。 合真数に 2 であるから,与えられた このとき, log.4= 正の装 方程式は 4 -=3 log2x log2x 両辺に よって (log2x)-4=31oga2x (log.x)-31og2x--4=0 (1og2x+1)(log2.x-4)30 logax=-1, 4 ける。 整理して 合 1og.x= ピー ゆえに よって これを したがって x=2-1, 2* これらは①を満たすから, 求める解である。 t=- すなわち x 16 合真数。 PRACTICE… 159°

（2）でどうして各辺の2を底とする対数を取るのですか？判断基準を教えていただきたいです。

((1)(イ) 東京薬大,(2)日本工大) (p.272 EX109.11。 (2) x, y, zの関係式を導こうとしても, 指数のままでは扱いにくい。 そこで, 条件式 70 基本 例題173 指数と対数が混じった式の値など (1) glos,5 の値を求めよ。 (2) 2*=3"=6* (xyzキ0) のとき、 1 1 の値を求めよ。 (2) 近畿大) p.266 基本事項 [1, 12) 1 x y 指針> (1) 9log,5=M とおいて, 両辺の3を底とする 対数をとる。 対数の定義 a=M→ p=logaM を利用してもよい。 0 2*=3"=6* の各辺の2を底とする 対数をとる。 =ム CHART 指数の等式 各辺の対数をとる (2起めがるく指談を対教が混にた式の結 解答 t m (1) 9los,5=M とおく。 左辺は正であるから, 両辺の3を底とする対数をとると loga9os,5=1oga M loga51og。9=logs M すなわち 21og35=logs M したがって 49を底とする対数をとると logs5=logo M となり,底の変換が必要に ゆえに なる。 glos,5=25 よって M=5° 別解 9os.5=(33)'o8,5 _32log,5=(3'os,5)?=5=25 (2) 2*=3"=6° の各辺は正であるから,各辺の2を底とする対 数をとると (検討参照。 1__1 (1og22*=1og23=l0g.6° x=ylog23=zlog26 x x x (loga(2-3)=log22+1og.3 x ゆえに log26 log.(2-3) xキ0, yキ0, スキ0 1+log23 ソ= log23' ス= 1+log23 xyzキ0 であるから 1 1 1 1 log23 =0 よって 焼の定養 α x y る x x x 別解 2*=3'=6の各辺の6を底とする対数をとると xlog62=yloge3=z loge2」 loge3 t乗する いうことであり log.6-1 =0 1 1 x= log。2, y= 1 1 よって x loga3 ま、 ①を利用 、 loge y る 検討 alos. M=M の証明 a>0, aキ1のとき, a'os,M=DM が成り立つ。これは対数の定義 一方, JOV= a=M ④ → カ=logaM B において, BをAに代入することで成り立つ。 (a08.M=x として, 両辺のaを底とする対数をとることでも証明できる。各自示してみよ。! oe 0から、 1 \08。 (イ) 練習 (1) 次の値を求めよ。 (ア) 1605,3 173 (2) 3=5"=\15 のとき, 49 1 の値を求めよ。 y x 人 のような の注ス cf

数学Bの数列の問題です。(2)の問題なのですが、解答のシャーペンで囲っているところがどうしてそうなるのか分かりません‥。どなたか教えて下さい。

当初項が 2, 公比が4の等比数列を{an} とする。ただし, logio2=0.3010, logio3=0.4771 とする。 (1) an が10000 を超える最小のnの値を求めよ。 (2) 初項から第n項までの和が100000 を超える最小のnの値を求めよ。 ILJzL フ n=2.47-1 そan=arn-1

マーカーの問題です。 対数の性質で、「logaMN = logaM+logaN」と習いました。 でも青丸のところは通分して足し算しているように見えます。 何故ですか？それともこれは通分している訳ではないのでしょうか？ 教えて下さい。

357 次の式を簡単にせよ。 *(1) log23-1og35·1og57·log,8 (3) log43·1og。25·1og58 T(2)(1og29+logs3)(log32+1og,4) T(4) log210-1ogs 10-(log25+log52)

数Ⅲの質問です 青ペンでライン引いてあるところの中の赤ラインのところの展開についての質問です　この展開って写真2枚目の展開をするらしんですが　写真3枚目の展開の仕方じゃだめなのですか？

基本 例題133 関数の極限 (3) 次の極限値を求めよ。 Mim logax+1og.(V3x+1-V3x-1) X→0 指針>(1) 対数の性質 klogaM=logaM*, logaM+logaN=1o 内を log.f(x) の形にまとめる。 そして, f(x) の極限を (2) 018 の形 (不定形) で 無理式 であるから, まず 有 でくくり出す。このとき, x- 18 であるから,x<0 x<0のとき, Vx? =xではなくて, V°=-x であ なお,別解のように, x=-tの おき換えで,t→8の 解答 1)- logax+log.(/3x+1-/3x-1) =log3Vx +log3 3x+1+V3x-1 2/x 3x+1+V3x-1 =log3 であるから 2/x 3x+1+V3x-1 (与式)=Dlimlog3 X→0 =limlog。 2 2 =log3 1 1 3+ X→の ニ 1 3 2/3 2 x 1im