数3の積分（置き換え）についてです これの(2)で√2－1＝t で置き換えるとインテグラルを外した後に積分定数cにダッシュをつけてc´ －2＝cとしているのはどうしてですか？

Think 例題140 置換積分法 (1) 次の不定積分を求めよ. (1) Sx(2x-1) dx 「考え方 解答 S dx = 1/2*1). より dt よって, 805- (Biel (1) 展開するのではなく, 2x-1=t とおいて考える. (2)√x=tとおく(√x-1=t とおいてもよい) C は積分定数とする. (1) 2x-1=t とおくと, t+1 x=- mm²n =dt dx= 168 (2)√x=t とおくと, dx -=2t より, dt よって, min t+1 Sx (2x - 1)³dx=S1-11 2 2dt -t°(6t +7) +C= 1 168 = ¼/S (tº +t³) dt = - t ³)dt = 1 + 1 € + 1 + 1 + + C 47 46 (2) x=t2 dx=2tdt S√/₁₁²_₁dx=S₁²₁ · ²tdt ~ (別解) x-1=t とおくと, dx -2t+2 より, dt 1 Sdx 1 2 置換積分法と部分積分法 309 -(2x-1)(12x+1)+C [2(t-1)+2 dt = √(2 + ₁ 2²₁) dt t-1 =2t+2log|t-1|+C=2√x+log(√x-1)'+C -dx x = t2+2t+1 KATAL =2√x+10g(√x-1)+C dx=(2t+2)dt 1200=1 A nie Sxdx=Sz(2x+2)at=S(2+2)at =2t+2log|t|+C'′=2(√x-1)+210g|√x-1|+C′ **** 12th 両辺をtで微分する. RED3 12dt を微分形式と いう. (p.307 参照) dx に 1/2dt を代入す る。 最後はxの式に戻す. m mmmmmmmmm 2tdt を微分形式と いう. (p.307 参照) dx に 2tdt を代入す る. fdx=log|x|+C 最後はxの式に戻す. x=g(t) とおくと (f(x)dx=Sf(g(t))g' (t)dt dx に (2t+2)dt を 代入する. C'′-2=Cとしている. 最後はxの式に戻す. 第5章

（3）区分求積法の問題です。 3枚目の写真にもあるように、どうして積分範囲が0からαとなるのですか？

〔I〕 関数f(x)= COS X 3 + 2sinx とおく。 次の問いに答えよ。 を求めよ。 F(x) = f* f(t) dt Wted moromoo ad 8 dallome 0 数学 ■ (0≦x≦2m) に対してOK a the hippocampns. lim schdördde tent of (100) 8 to rewood A atgeo isanduoY wol" a n→∞n (1) F(x) を求めよ。 さらに, F(x) の最小値とそのときのxの値を求めよ。 (2) f(x) の最大値を求めよ。 ただし、最大値を与えるxの値は求めなくてよい。 (3) f(x) が最大となるxの値をαとする。 このとき, 極限 n a # ₁ (a) r(a) k=1 f(t)dt (0≦x≦2x) with "Scents are really special," the nories

ここの変形が分かりません

(1 6 √√4x² =√√4(1-sin²0)=√√4 cos²0=2 cos 0 COSO T G IJ

数Ⅲの積分の問題です。 なぜlog3が分母に来るのかわからないので教えていただきたいです🙇‍♂️

(8) 1 25x+2 5 log2 √ 25x+²dx = = = +C 25x+2 5log2 +C

置換積分の問題なのですがわかる方教えてください。 途中式もあると助かります。

tdi x x2+1 dx

数三積分の問題なのですが、オレンジペンで囲んである部分がわからないです。逆関数の積分をどう扱えばいいのか分からないので教えて頂きたいです。

逆関数と積分の等式の証明 重要 例題 222 O tinde ① f(x)= のとき. y=f(x) の逆関数y=g(x) を求めよ。 2 (1) f(x), g(x) に対し、次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+$70g(x)dx=bf(b)-af(a) 解答 指針▷ (1) 関数y=f(x) の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。 (p.134 基本例題 81 参照。) (2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)x=g(y) を利用。 すなわちy=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により 左辺の第2 7 ((1) ex ex+1 項 Song(x)dx を変形することを考える。 f(a) ex ex+1 y= ①から ②から *****. p.339 基本事項1. 基本 81 e-∞ ex lin erão tra l the extl X-8 ①の値域は 0<y<1 ゆえに よって (ex+1)y=e* y e² = 1 = y I= ********* V (2) (1-y)ex=y x=logi-y 求める逆関数は、xとyを入れ替えて g(x)=log 81²x (2) Sing(x)dx とする。 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y) ゆえに dx=f'(y)dybe 2 また g(f(a))=a.g(f(b))=b2xf(a)→f(b) xとyの対応は右のようになる。 よって 店 tree 1=S_yf'(v)dy=[yf(y)]* -S" f(y)dy =bf(b)-af(a)-f(x) dx ゆえに Sof(x)dx+g(x)dx=bf (b) -af(a) a → b #104 T STS LORAC まず、値域を調べておく。 xについて解く。 「両辺の自然対数をとる。 loge*=x 定義域は 0<x<1 f(b) YA 1 f(a) T= 0 〔東北大〕 12 a T S x s=Sof(x)dx. T-Shing(x)dx ƒ(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 (0<a<bのとき) 345 7章 34 定積分の置換積分法・部分積分法

数三置換積分です。 別解で積分定数C’が出でくるのですが、どうしてですか？

Check 題 229 贈答 次の不定積分を求めよ. fx(2x-1) dx 置換積分法 (1) 展開するのではなく, 2x-1=tとおいて考える。 (2)√x=t とおく.(√x-1=tとおいてもよい。)(メー Cは積分定数とする. ub(g)))=xb(x)'`b((2) (1) 2x-1=t とおくと, Focus x= (2)√x=t とおくと, dx = 1/2*, dx==1/dt より, dt ・dt よって, t+1 2 Sx(2x-1)³dx=+1.1.1/dt -²+²-1+1+1+c = 1 S ( 1° +15) dt = 1 + 1/ 4 7 =168 °(6t+7)+C=18(2 -(2x−1)³(12x+1)+C x=12 dx=2t より, dx=2tdt dt よって, S₁²₁²_₁dx=S+² ₁.2 tdt √x-1 4 dx=2t+2より dt √√√²-10²₂ dx 1x (別解)√x-1=t とおくと, x=t2+2t+1 *** -tº C =2√x+10g(√x-1)2+C. =(2t-1)+2d=(2+121) dt =2t+2log|t-1|+C=2√x +10g(√x-1)2+C .873 31 basicns mit Geon= dx=(2t+2)dt S√²-7 dx = S(2t+2)dt =S (2+2) dt x-1 =2t+2log|t|+C'=2(√x-1)+210g|√x-1|+C ** x=g(t) とおくと, f(x)dx=~f(g(t)g'(t)dt 両辺をtで微分する. dt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 1/12dt を代入す る. 最後はxの式に戻す. 2tdt を微分形式と いう. (p.489 参照) dx に 2tdt を代入す る. S/1/dx=log|x|+C 最後はxの式に戻す. dx に (2t+2) dt を 代入する。 C-2=C としている。 最後はxの式に戻す。 49

これはなぜx=2sinxとおいているのですが？ どこを見て判断しているのでしょうか？

218 例題 2 解 定積分 4-xdx を求めよ。 0 dx x=2sin0 とおくと do xと0の対応は右の表のようになる。 ゆえに [²√4x² dx = [² = 2 cos 0 = = 4 OMOTにおいて cos0 ≧0であるから 2 √√4x² =√√4-4 sin²0 = √√4 cos²0 = 2 cos 0 2 cos 02 cos de 定積分の置換積分法 [1] X 0 π = 2[0+ sin 201²-1 2 00 f* cos²0 de = 4 21+ cos20 2 2 dx = 2 cos0d0 do K|2

（2）の丸く囲ったxdy は部分がわかりません。 このいきなり出てきたxdy はなんですか？ Yの式にしたいのは分かるんですけど、なぜこうなるのか分かりません。

基本例題 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 [ 257 曲線x=g(y) とx軸の間の面積 (1) y=elogx, y=-1, y=2e,y軸 (2) y=-cosx (0≤x≤7), 解答 (1) y=elogx から -1≦y≦2e で常に x>0 2e 1 *₂7_S=S²,₁e²dy=[e•e²] ()=e•e² - e•e=² =e³-e¹- よって (2)y=-cosx から よって 指針まず, 曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) yelogxをxについて解き,yで積分するとよい。 ・･･・xについての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 = 2 (2)(1) と同じように考えても,高校数学の範囲では y=-cosx を x=g(y) の形にはできない。そこで置換積分法を利用する。 (1),(2) ともに別解のような, 長方形の面積から引く方法 ABRONAL: 1) でもよい。 k x=ee ---xcosx]+S | COS π = +²+0= 3 6 s-S²(xdy-S² xsinx dx S 2 π · — ²/² π · ( − 1 1/2 ) + + 5 + 1/1/2 . 3 TC =-=-=1/2/₁ 2' dy=sinxdx 2/3 1/3 一 +[sinx 2 よって cosxdx y=- 2/3 43 YA 2e O 1 2,y軸 y YA 1 |1 2. O -e2. Spic=x 1 S 2e+1 '1 2 I π 3 e2 8√3, Sa $30 ! p.424 基本事項 ③ 82200000 -2-3 23 y=–cost ...... fibr π x =e³_e¹-1 1 1 2 2 (2) の 別解 (上と同じ方法) 1_ _‚ ²², s=²×·(²+1) =te π 2 S= → π 3 3 -cosx++)dx= YA d =2e³+e² 3 重要 263 (1) 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) 2 x=g(y) -Se-(elogx+1)dx -[e(xlogx-x)+x s=Sg(y)dy 常に g(y)≥0 - + sinx 427 81 3 面 和

(2)の問題でなぜxと置いているのかわかりません 教えてください🙌🏽

積 基本 例題 257 曲線x=g(y) と軸の間の面積 y=elogx, y=-1, y=2e, y 軸 (2) y=-cosx (0≤x≤π), y= 解答 (1) y=elogx から x=ee -1≦y≦2e で常に x>0 2e 1 * ₂7 S=S²₁e²dy=[e·e ² ] ² =e.e²-e·e-² =e³-e¹-1 (2)y=-cosx から よって 指針>まず, 曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) yelogxをxについて解き で積分するとよい。 ・・・・ x についての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (21)と同じように考えても,高校数学の範囲ではy=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 (1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く方法 でもよい。 s=S_xdy= 2 1/3 - --x cos x]*+*cos x dx = X COS π 3 2 = - 1²/17 · ( - 1²/2) + 3/3 - 1/1/2 32 xsinxdx +0= dy=sinxdx + TC 2 ~/N [ 2/3 43 y=- yA 2el et s -1 yA 1 2. 0 1 2,y軸 y S 12 1 2e+1 T 1 2 π π 3 LT 4/5/12/30 → 1 123 p.424 基本事項 3 x=e² ****** k 1 2 y=–Cost π π X 重要 263 y₁ d S R x=g(y) 常に g(y) ≥0 s=Sg(y)dy (1) 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) -4 -Set(elogx+1)dx =2e³+e² -[e(x logx-x)+x]+ =e³-¹- (2) の 別解 (上と同じ方法) S = ²/3 r. ( 1/2 + 1/2 ) 元 -1/2)dx 33 cos x+ -f+[sinx-1/2+125 427 8章 38 面 積