Question

みみ

数三積分の問題なのですが、オレンジペンで囲んである部分がわからないです。逆関数の積分をどう扱えばいいのか分からないので教えて頂きたいです。

逆関数と積分の等式の証明
重要 例題 222
O
tinde
① f(x)=
のとき. y=f(x) の逆関数y=g(x) を求めよ。
2 (1) f(x), g(x) に対し、次の等式が成り立つことを示せ。
Sof(x)dx+$70g(x)dx=bf(b)-af(a)
解答
指針▷ (1) 関数y=f(x) の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。
(p.134 基本例題 81 参照。)
(2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)x=g(y)
を利用。 すなわちy=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により 左辺の第2
7
((1)
ex
ex+1
項 Song(x)dx を変形することを考える。
f(a)
ex
ex+1
y=
①から
②から
*****.
p.339 基本事項1. 基本 81
e-∞
ex
lin erão tra l the extl
X-8
①の値域は 0<y<1
ゆえに
よって
(ex+1)y=e*
y
e² = 1 = y
I=
*********
V
(2)
(1-y)ex=y
x=logi-y
求める逆関数は、xとyを入れ替えて g(x)=log 81²x
(2) Sing(x)dx とする。
f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y)
ゆえに dx=f'(y)dybe 2
また
g(f(a))=a.g(f(b))=b2xf(a)→f(b)
xとyの対応は右のようになる。
よって
店
tree
1=S_yf'(v)dy=[yf(y)]* -S" f(y)dy
=bf(b)-af(a)-f(x) dx
ゆえに Sof(x)dx+g(x)dx=bf (b) -af(a)
a → b
#104 T
STS LORAC
まず、値域を調べておく。
xについて解く。
「両辺の自然対数をとる。
loge*=x
定義域は 0<x<1
f(b)
YA
1
f(a)
T=
0
〔東北大〕
12
a
T
S
x
s=Sof(x)dx.
T-Shing(x)dx
ƒ(a)
(2) の等式の左辺の積分は,
上の図のように表される。
(0<a<bのとき)
345
7章
34
定積分の置換積分法・部分積分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

fの逆関数がgで、まぁイメージ的にはg=1/fと思って貰えばいい。g(f(a))っていうのは、g×f×(a)っていうイメージにすると、g×1/g×(a)=(a)=aって感じ