Question

や

数3の積分（置き換え）についてです
これの(2)で√2－1＝t で置き換えるとインテグラルを外した後に積分定数cにダッシュをつけてc´ －2＝cとしているのはどうしてですか？

Think
例題140 置換積分法 (1)
次の不定積分を求めよ.
(1) Sx(2x-1) dx
「考え方
解答
S
dx = 1/2*1).
より
dt
よって,
805- (Biel
(1) 展開するのではなく, 2x-1=t とおいて考える.
(2)√x=tとおく(√x-1=t とおいてもよい)
C は積分定数とする.
(1) 2x-1=t とおくと,
t+1
x=-
mm²n
=dt
dx=
168
(2)√x=t とおくと,
dx
-=2t より,
dt
よって,
min
t+1
Sx (2x - 1)³dx=S1-11
2 2dt
-t°(6t +7) +C= 1
168
= ¼/S (tº +t³) dt =
- t ³)dt = 1 + 1 € + 1 + 1 + + C
47
46
(2)
x=t2
dx=2tdt
S√/₁₁²_₁dx=S₁²₁ · ²tdt
~
(別解) x-1=t とおくと,
dx
-2t+2 より,
dt
1
Sdx
1
2 置換積分法と部分積分法 309
-(2x-1)(12x+1)+C
[2(t-1)+2 dt = √(2 + ₁ 2²₁) dt
t-1
=2t+2log|t-1|+C=2√x+log(√x-1)'+C
-dx
x = t2+2t+1
KATAL
=2√x+10g(√x-1)+C
dx=(2t+2)dt
1200=1
A nie
Sxdx=Sz(2x+2)at=S(2+2)at
=2t+2log|t|+C'′=2(√x-1)+210g|√x-1|+C′
****
12th
両辺をtで微分する.
RED3
12dt を微分形式と
いう. (p.307 参照)
dx に 1/2dt を代入す
る。
最後はxの式に戻す.
m
mmmmmmmmm
2tdt を微分形式と
いう. (p.307 参照)
dx に 2tdt を代入す
る.
fdx=log|x|+C
最後はxの式に戻す.
x=g(t) とおくと (f(x)dx=Sf(g(t))g' (t)dt
dx に (2t+2)dt を
代入する.
C'′-2=Cとしている.
最後はxの式に戻す.
第5章

不定積分 積分 置換積分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ねぎ

「積分定数」ってのはその不定積分の計算結果での定数項を全部まとめたものなので、今回の場合C'-2という定数項をまた新たな積分定数Cとして置いたのでしょう。

や

納得できました！ありがとうございます
ちなみに積分したにもかかわらず定数が出てしまう理由ってなんでしょうか、、

ねぎ

不定積分は簡単に言えば微分の逆の動作です。ここで、微分するときの動作を考えてみましょう。
例えば、f(x)=x²+2x+3として、これを微分してみます。
もちろん、
f'(x)=2x+2
となりますよね。
この時、f(x)の定数項である3に注目すると、微分した結果この3が消えていることが分かります。
つまり、微分する時定数項は関係ないという事ですね。
ってことは、不定積分は微分の逆なんだから、逆に何かしら定数項が出てくる可能性があるということになります。これが「積分定数」の正体です。
説明わかりづらくてすみません。

や

ありがとうございます🙇‍♀️