例題 290 漸化式 [7] ... f (n) an+1=f(n+1)an+q
=
a1=1, nan+1 = (n+1)an+2 (n = 1, 2, 3, ...) で定められた数列{an}
の一般項を求めよ。
思考プロセス
対応を考える
例(n+1)an+1 = na,+2 の場合, na = by とおくと
bx+1 = bn +2
○対応
対応
例題290 では
対応 [対応]
n(n+1)
で割る
An+1
An
2
nan+1
(n+1)an+2
+
n+
n(n+1)
対応
||
階差型
+1 ← 6 とおくと
←bn+1=bn+f(n)
Action》 漸化式f(n)an+1=f(n+1)an+g は, 両辺をf(n)f(n+1) で割れ
解 nan+1 =
例題
276
(n+1)an+2の両辺をn(n+1) で割ると
f(n)an+1 = f(n+1)an+
の両辺をf(n)f(n+1)
で割ると
an+1
f(n+1)
an +
f(n) f(n)f(n+1
an+1
an
2
=
+
n+1
n
n(n+1)
an
2
bn
=
とおくと
bn+1 = bn +
n
n(n+1)
2
よって
bn+1-bn
n(n+1)
n≧2のとき
2
1
a1
bn = b₁ +
= 1+2
161
=
1
k(k+1)
k+1
階差数列を利用する。
=1+2
=1+2{(
k
+
=1+2(1-1)=
+1
+
3
3n-2
n
n=1 を代入すると1となり, 61 に一致する。
3n-2
ゆえに, bu
=
n
したがって
an=nbn=3n-2
1)}
ReAction 例題 276
「分数の数列の和は, 部
分数分解せよ」
n=1のとき
3.1-2
1
=1
