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例題 75
2つの放物線の位置関係
大阪
長の
(1)すべてのxに対して,f(x)<g(x)
(2) あるxに対して,f(x)<g(x)
(3) すべての組 x1, x2に対して, f(x)<g(x2)
(4) ある組 x1, X2に対して, f(x))<g(xa)
考え方
(2) -2<x52 の範囲で )<glx)
を満たすxの値が在在することと、
は llx)に同じxの値を代入したときの大小を比較している。
(1) -2Sx<2 の範囲のどのxの値に対
しても,つねに f(x)<g(x)であ
ることと,この区間で,y=g(x) の
グラフが y=f(x) のグラフよりつ
ねに上側にあることは同じ.
w ん ~
M M
この区間で,y=g(x)のグラフが
w
ソ=f(x)のグラフより上側になる
部分がどこかにあることは同じ,
Y4
y=f(x)
=f(x)
y
H
x
2
S
0
HE
|y=g(x)、
f(x)<g(x)| y=g(x)
(メー9)
h(x)=g(x)-f(x) とおくと, (1)は, -2<x<2 の範囲のどのようなxの値でも
h(x)>0 であることが条件である.
(2)は, -2Sx<2 の範囲で, h(x)>0 となるxの値が存在することが条件である。
h(x)=g(x)-f(x)とおくと。
h(x)=(-x°+2x+a+1)-(x°+2x-2)
c8-f-
解答
h(x)>0 のとき、
g(x)>f(x)つまり,
|9(x) はf(x) の上側
=-2x°+a+3
(1) -2<x<2 のすべてのxに対して, h(x)>0 となる
条件は,この区間における h(x)の最小値が0より大き
くなることである。
ソ=h(x)のグラフは, 上に凸で,軸が直線 x=0 で
あるから, x=-2 と x=2 で最小値をとる。こJS知の
よって,
w
M
用忍Iy=h(x)
h(-2)=-2·(-2)?+a+3=a-5
h(2)=-2-22+a+3=a-5
最小
a-5最小
より,a-5>0 つまり,
(2) -2<x<2 のあるxに対して, h(x)>0 となる条件
は,この区間におけるん(x)の最大値が0より大きくな
ることである。
ソ=h(x)のグラフは上に凸で, 軸が x=0 より,
x=0 で最大値をとる. e方る。
よって, h(0)=a+3>0 より,
a>5
-2 0
2!x
最大
a+3
y=h(x)
m
2
A 8A
M
0
a>-3
シーニゴ。
