この問題が分かりません。式と答えを教えて欲しいです。シグマ、等比数列の応用の範囲です

問題2次のような等比数列{an}がある。 1 2 3 4 { ₁, 2, (²) ² (1) ³ (1) ^ - - · · } う (1) この数列の第n 部分和 Sn を表せ。 (2) 和の項数nが限りなく大きくなっていったらこの和はどんな値に近ずくか考えよ。 問題3 背の高さがはじめ1 [m]の木がある。この木は翌年には1/12 [m] 伸びて、そのまた翌年 には 1 [mm] 伸びるという具合に、 伸びる長さが前年の半分になっているとする。 この木はい くら成長しても2 [m] を超えないことを示せ。 問題2の結果をヒントにせよ。

この問題の、部分和を求めてるところがあるんですが、そこの式は何を表しているか分かりますか？

II 0.63= 0.6+0.03 + 0.003+ 0.0003 + 悪用すると 4--3=0 (2r+12-30 6 3 3 3 よって 10 102 10° 10 |<1であるから アー 3 6 10° このとき,2から 6 3 19 a=4 10 10 1 1- 10 90 30 ーN したがって 初項 4,公比- 4 0.1234= 0.1+0.0234 + 0.0000234 + 202 初項 1,公比 の無限等比級数は, 公比につ 1 234 234 10 10 107 いて <1であるから,収束し,その和は 234 1 10 1 S=- 3 10 1 10° 1 1 1- 3 2 1 234 10 9990 1- 3 また S,= ミ 1 26 137 10 1110 1110 3 IS-S.J-() 3 ゆえに 2 3

この問題の解き方が解説を見てもよく分からないです。なぜこのように場合分けをして考えるのですか。 あと、7行目のSn2n−１はどのように考えるのですか。教えてください🙏

PRACTICE… 105® 次の無限級数の和を求めよ。 要例題T05 部分和 San-1, San を考える 167 1 1 1 無限級数 1 3 1 3° 1 O0 2 +…… の和を求めよ。 本9 2? 3° 「基本104 CHART lOLUTION 無限級数 まず部分和 S。 基本例題 104 と同じと考えて、第n項を(コー し、和Sを右のように求めてはいけない。ここでは,( ) がついていないから,やはり,Snを求めて n-→8の 方針で解く。ところが,Snはnの式では1通りに表されないから San-, Szn の 場合に分けて調ベる。 [1] lim S2nー1=lim S2n=S ならば limSn=S と 3" S= 3 1 3 2 n→ 0 n→0 1→ 0 [2] lim San-」キlim Szn ならば{S}は発散 注意 無限級数の計算では, 勝手に( )でくくったり,項の順序を変えてはなら 2→0 n→ 0 ない! ごある 重序を 4章 解答 よい。 この無限級数の第n項までの部分和を Sm とする。 11 1 1 1 1 1 S2n=1-- 3 部分和(有限個の和) な ら( )でくくってよい。 2 3? 22 3° 27-1 3" 1 1 2° 1 2々-1 1 す 列の和。 *初項1, 公比一の等比数 2 11 1 3 3「33 -初項、公比一の等比 数列の和。 1 2 3 =211- 1 1- 3 3 合lim-=0, lim- =0 1 lim S2n=2- 2 よって 2 n→0 また -=lim Szn Szm-1=Szn-Qzn lim San-1=lim(Sent =limSzn+lim カ→ 0 n→0 n→ 0 n→0 3 lim San=lim San-1= であるから,求める和は 1→ (05) 1+三 9 8 27

数Ⅲ青チャート例題125の「-1/ｎ+1」がどこからでてきたのかわかりません

級数O の初項から第n項までの部分和を Snとするとき,Szn-1, Sznをそれ | 級数O の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。 静>) San-1が求めやすい。Sanは San=Sn-1+(第 2n項)として求める。 厚本例題125 1 2通りの部分和 San-1, San の利用 211 OOOO0 1 1 新限級数1- 2 1 2 1 4 3 3 4 0 について n ぞれ求めよ。 基本124) 4章 前ページの基本例題124と異なり,ここでは( )がついていないことに注意。 -のようなタイプのものでは,Snを1通りに表すことが困難で,(1)のように, S, San の場合に分けて調べる。……の そして、次のことを利用する。 [1] lim San-1=lim San=S ならば lim S,=S 15 無 限 級 数 n→m n→0 n→00 [2] lim San-1キlim San ならば {S.}は発散 2→0 →0 答 1 ) Stn-1=1- 2 1 1 1 1 1 2 3 34 n n 1 1 =1 4部分和(有限個の和)なら ()でくくってよい。 =1 2 (3 3 n 1 F1- n+1 1 Sn=San-1- n+1 参 無限級数が収束すれば、 その級数を,順序を変えずに 任意に( )でくくった無限級 数は、もとの級数と同じ和に 収束することが知られている。 (1)から lim San-1=1,um Sen=lim(1- =1 n→0 「カ→ よって lim Sn=1 れ→0 したがって,無限級数のは収束して,その和は1 自然数 快討)無限級数の扱いに関する注意点 上の例題の無限級数の第n項を と考えてはいけない。( )が付いている場合は,n n n+1 番目の( )を第n 項としてよいが,( )が付いていない場合は、n番目の数が第n項となる。 注意 無限級数では,勝手に( )でくくったり、項の順序を変えてはならない! 例えば、S=1-1+1-1+1-1+……=(1-1)+(1-1)+(1-1)+……とみて、S=0などと1 したら 大間違い」(Sはヘ比 -1の無限等比級数のため,発散する。) ただし、有限個の このような制限はない。

部分分数分解で1/3で括り出しているのがどこからその数字を持ってきたのかわかりません… 教えてください

194 (1) 第n項までの部分和を S, とすると したがって,この無限級数は収束して, その和 So 1 1 1 2.5'5-8 8.11 1 (3n-1)(3n+2) 1 1 1 2 5 5 8 1 -0 1 3n-1 3n+2 /1 1 3(2 3n+2 1 1 lim S,= lim(らー 1/1 3n+2 よって 6 n→0 n→0 したがって, この無限級数は収束して,その他 はっである。 6

数3の極限に出てくる部分和と和の違いがわかりません。公式の理由も教えていただけたら嬉しいです。

(1)のn≧3のところがなぜそうなるか分かりません。 教えてください🙇‍♀️

>1(n-1) (n22) が示されるから, limnx"=ア である。したがって、 0<x<1 に対して、上=1+h とおくと, h>0 である。二項定理を用いて, OOO0 重要例題 1O7 無限級数 nr" 次の(1), (2)が成り立つことを示せ。 170 EXEF (類工学院大 (2) 2=2 カ=127 A 86 n (1) lim=0 重要 93, 数学B基本% カ→o 27 CHARTOSOLUTION (1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 二頂定理を用いて、, をはさみうちにする(重要例題 93を参照)。 87 88 S-TSの利用 (2) 無限級数Enr" まず部分和 S,を求め, n→8 の極限をとる。 -() 1 は, Sn-- Sn を作って求める。 部分和 Sn= 2(2 8 k=1 k=1 解答 (1) n23 のとき, 二項定理により n(n-1) n(n-1) 2 合Co·1"+,C·1"-1.1 2 0<く。 2 よって >,C2·1"-2.12 2" n-1 2 ここで, lim n→ n-1 -=0 であるから lim n =0 合はさみうちの原理 2→o 27 1 2 3 n とすると 27 Sn= 2 22 2° 1 2 n-1 n 22「 29 27 27+1 aよって 5-5--3 Sm 1 1 Sカ= 2 n 2° 23 2" の部分は,初項う 27+1 1? ゆえにS- 2 公比,項数nの等出 n 2 2カ+T-1- 27 n 1- 2 27+1 数列の和。 したがって n = lim S=lim(2 B 1 n =2 カ=127 27-1 → (1)の結果を利用。 PRACTICE… 1074 x 2 S=1+2x+ ト

解答の3行目から4行目の式変形の仕方を教えてください お願いします🤲🙇‍♂️

%D 8. 級数) 2-47-1 - 37-1 127-1 (1)この級数の第n部分和 S,を求めよ。 I=U について,以下の問に答えよ、(各5点) この級数の第n部分和 S, は 2.4k-1 - 3k-1 “S 3="s I=Y =2 I-Y 3 1=Y ーY =2- I uE I 1- ()マ- ()マ I 9 3 T I 11 1-uE 34n-1

解答の計算の1行目から2行目、2行目から3行目、3行目から4行目の省略されている計算式を教えてほしいです！ お願いします🙏

1I 8. 級数下2:47-1_ 37-1 について,以下の問に答えよ、(各5点) 12n-1 (1)この級数の第n部分和 S,を求めよ。 I=u この級数の第n部分和 S, は ア2:44-1-3k-1 3 12k-1 S,= ト-1 =2 k-1 k=1 I =2- I uE I 1- u4 T I 3 I I-uE 34n-1 I I

無限等比級数でないとはどういうことですか？

本間では,側面の展開図の扇形は, 半径が1で, 弧の長さLが底面の円周 2xY,に等しいから, 側 面積 T,は, 1 V4 と求められる。での 内 s T,=;:1-2mr。=元 0食護回 2 ところが、このT,に対し2T,は, 無限等比 n=1 N 級数ではないし,部分和2T。 が求まるようにも n=1 見えない。