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1章
2 場合の数
00
基本 例題 8 約数の個数と総和
は何
540 の正の約数は全部で何個あるか。また,その約数の和を求めよ。
基本 7
指針
腰 16、
正の約数の個数や和についての問題では,素因数分解からスタートする。
また, 0 でない実数に対し か=1 と定義される(数学Ⅱで学習)。 このことも利用し
て 12 すなわち2・3の場合で考えてみよう。
12の正の約数は2.3 (a=0, 1,2;6=0, 1) の形で表され, その個
数は,右の樹形図から
20.3º, 2º 31, 2¹.3º, 2¹·31, 22.3º, 22.31
1つ
の6個あり,これらのすべての和は
2° ・3°+2°・3' +2'・3°+2'3'+2・3°+22・31
-3º
2º.
-31
-30
2
-31
=2°(3°+3')+2'(3°+3')+22(3°+31)
=(2°+2'+22)(3°+3')=(1+2+22)(1+3)
-30
-31
つまり2・3の約数は を展開したすべてに現れ, もれも重複もない。 したがっ
て,約数の個数は,多項式を展開したときの項の数 [基本例題 7 (2)] と同じになる。
よって、 22･3の約数の個数は (2+1)×(1+1)=6
これと同様に考えればよい。
