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重要 例題5 複素数の実数条件
00000
+1
絶対値が1で,
z²
が実数であるような複素数を求めよ。
基本2
指針▷
複素数αが実数⇔ α =α
を利用する。
2+1)=2+1 から得られる、その式を|2|=1 すなわちえ=1 を代入することで簡単
11
L
にする。 なお,zz=1から得られるz==
1
1
または
を利用し,zのみまたはえのみ
2
の式にして扱う方法も考えられる。
→
[別解]
解答
z+1
が実数であるための条件は (z+1
2+1
αが実数a=α
22
z+1 z+1
すなわち
2
A
(
両辺に(z)を掛けて
z2(x+1)=(z)(z+1)
よって
2.2z+2²=2.2z+(2) 2
|z|=1 より zz=1であるから
2+2²=x+(2)²
ゆえに
2-2+22-(2)²=0
よって
(z-z)(1+z+z)=0
ゆえに
zz = 0 または 1+z+z=0
[1] z=0のとき
z=2
よって, zは実数であるから, z|=1 より z=±1
[2] 1+z+z=0 のとき z+z=-1
また,zz=1であるから,z, は2次方程式x2+x+1=0の
解である。
z-z+(z+z)(z-z)=0
α, β が複素数のときも
αβ = 0 ならば
α = 0 または β=0
が成り立つ。
x²-(和)x+(積) = 0
(A)
この方程式を解くと
__1±√12-4•1_-1±√3i
x=
=
解の公式を利用。
2.1
[1], [2] から z=±1,
-1±√3i
2
別解 zz = 1 から
==2
よって
==
2
ゆえに,Aは
2+2=2+1
z²
in-1/2+(1/2)=2+22
両辺に2を掛けて z2oz(z+1)=z+1
よって
(z+1) (z-1)(z2+z+1)=0
z-1=(z-1)(z+z+1)
これを解いて
-1±√√3i
z=±1,
これらのは|z|=1 を満たす。
2
